隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)上的隨機(jī)分枝系統(tǒng)

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1、隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)上的隨機(jī)分枝系統(tǒng)李應(yīng)求李旭劉全升摘要考慮上的一個(gè)粒子系統(tǒng)，其中粒子的繁衍構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)環(huán)境中的分枝過程，粒子的移動(dòng)遵循隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)規(guī)律，研究時(shí)刻最右邊粒子位置的極限性質(zhì)，所得結(jié)果揭示出系統(tǒng)的一個(gè)臨界性質(zhì)。關(guān)鍵詞隨機(jī)環(huán)境臨界性最右邊粒子位置隨機(jī)游動(dòng)分枝過程大偏差1引言離散時(shí)間的分枝隨機(jī)游動(dòng)是指在給定的圖上，考察位于坐標(biāo)上的一個(gè)粒子，經(jīng)過單位時(shí)間后，該粒子依給定的分布移動(dòng)到其他位置或保持不動(dòng)，同時(shí)依給定的分布產(chǎn)生后代;任取后代中的一個(gè)粒子，則經(jīng)過單位時(shí)間后，獨(dú)立于其他粒子依分布移動(dòng)到其他位置或保持不動(dòng)，同時(shí)獨(dú)立于其他粒子依分布生成后代，依次下去即為分枝

2、隨機(jī)游動(dòng)模型.將這種模型推廣到隨機(jī)環(huán)境時(shí)，因?yàn)槲恢门c時(shí)間均可對(duì)粒子行為產(chǎn)生影響，所以從空間環(huán)境和時(shí)間環(huán)境兩個(gè)角度出發(fā)。使環(huán)境的隨機(jī)性分別作用于和時(shí)，將產(chǎn)生多種不同類型的隨機(jī)環(huán)境中分枝隨機(jī)游動(dòng)模型.在文獻(xiàn)[1-6]的模型中隨機(jī)環(huán)境只對(duì)起作用;在Devulder[7]的模型中隨機(jī)環(huán)境只對(duì)起作用;在文獻(xiàn)[8，9]的模型中隨機(jī)環(huán)境對(duì)及均起作用.以上文獻(xiàn)中討論的隨機(jī)環(huán)境均為空間環(huán)境，因?yàn)槠淞Ｗ臃毖芗耙苿?dòng)均只與所在位置有關(guān).本文則將分枝隨機(jī)游動(dòng)建立在兩個(gè)相互獨(dú)立的空間環(huán)境和時(shí)間環(huán)境中，其中空間環(huán)境僅決定粒子的移動(dòng)，而時(shí)間環(huán)境僅決定粒子的繁衍.Devulder[7]討論了受獨(dú)立同分布環(huán)

3、境影響的分枝隨機(jī)游動(dòng)模型，借助于文獻(xiàn)[10,11]中的大偏差定理，部分地得到了非滅絕情形下的上、下極限的界值，其中表示時(shí)刻最右邊粒子的位置;文獻(xiàn)[8]討論了一般環(huán)境下，及均受影響的分枝隨機(jī)游動(dòng)模型，利用Lyapunov函數(shù)得到了在非滅絕情形下粒子整體對(duì)于起始點(diǎn)的瞬時(shí)及常返性;本文則討論了在及環(huán)境下的分枝隨機(jī)游動(dòng)模型，借鑒Devulder[7]和文獻(xiàn)[8]中的方法，討論了非滅絕情形下的極限行為;而當(dāng)為確定環(huán)境，即分枝游動(dòng)只受環(huán)境影響時(shí)，我們求出了非滅絕情形下的極限值.2模型建立及相關(guān)知識(shí)設(shè),其非負(fù)部表示為.設(shè)概率空間為而為任一可測(cè)空間.令為環(huán)境變量并且相互獨(dú)立，其中獨(dú)立同分

4、布且取值于(0，l)，而獨(dú)立同分布且取值于.記號(hào)分別為全概率在給定環(huán)境下的條件概率.在環(huán)境上定義一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)，它滿足并且對(duì)任意的和有(1)(2)下面我們?cè)谏鲜鲭S機(jī)游動(dòng)(RWRE)中建立隨機(jī)分枝系統(tǒng)(BPRE):1.在時(shí)刻只有一個(gè)粒子位干點(diǎn);2.在時(shí)刻該粒子以概率移動(dòng)到1點(diǎn)，或以概率移動(dòng)到點(diǎn).同時(shí)以概率勸產(chǎn)生個(gè)后代，并且自身死亡；3.在時(shí)刻，這個(gè)粒子相互獨(dú)立的依規(guī)律(l)和(2)式移動(dòng)到新的位置，到達(dá)后分別獨(dú)立的依概率產(chǎn)生個(gè)后代，并且自身死亡;4.依次下去就可以得到一個(gè)建立在隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)上的隨機(jī)分枝系統(tǒng).若不考慮其運(yùn)動(dòng)情形，此隨機(jī)分枝系統(tǒng)其實(shí)就是獨(dú)立同分布環(huán)境中的分枝

5、過程[12]我們用表示其第代粒的個(gè)數(shù)，令.而對(duì)于平穩(wěn)遍歷的分枝過程，Athreyai[12,13]證明了如下的結(jié)果:引理1在上臨界條件下，即且，則對(duì)于環(huán)境下的滅絕概率而言有假設(shè)為的聯(lián)合分布.我們恒設(shè)如，其中為常數(shù).Solomonll[14證明了對(duì)上述RWRE有下述結(jié)果:引理2令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，游動(dòng)是常返的;若，則;若了，則a.以下假設(shè)，對(duì)于的情形可以平行討論.在此基礎(chǔ)上，Greven和denHollande[11]證明了對(duì)于存在一個(gè)確定的(非隨機(jī)的)速率函數(shù)使得滿足一類大偏差定律(LDP).引理3[11]任取，那么.有(3)(4)當(dāng)為確定環(huán)境時(shí)，該結(jié)果退化為Cranl6r

6、[15]定理.Comets等[8]給出了速率函數(shù)的性質(zhì),在情形下，存在，它是的極限值，使得,且在上是嚴(yán)格單增的.3主要結(jié)果就像Devulder[7]在為確定環(huán)境時(shí)所注意到的一樣，此模型中存在這樣一種競爭，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，受環(huán)境的影響，粒子具有向移動(dòng)的趨勢(shì);但在分枝過程非滅絕的情形下，又增大了某些粒子跑到去的可能性.下面我們通過對(duì)最右邊粒子位置的研究，證明了當(dāng)時(shí)，即粒子數(shù)不是足夠多時(shí)，所有粒子跑向;而在為確定環(huán)境情形，當(dāng)時(shí)，即粒子數(shù)足夠多時(shí)，有粒子跑向令表示時(shí)刻最右邊的粒子所在的位置.以下總假定樹滿足上臨界性質(zhì):，(5)定義1如果，令是方程在上的唯一解;如果，定義.注1由的單調(diào)性

7、和連續(xù)性知,是定義好的，而且當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.定理l對(duì)于上面定義的模型，有注2Devulde[7]考慮了為確定環(huán)境的情形，并在二階矩條件下證明了類似的結(jié)果.注3當(dāng)時(shí)，最右邊的粒子依正的速度趨于，因?yàn)榇藭r(shí).定理2當(dāng)為確定環(huán)境時(shí)，即存在常數(shù)，使得時(shí)，有因此在非滅絕條件下，當(dāng)時(shí)，最右邊的粒子依速度趨于；當(dāng)時(shí)，最右邊的粒子依速度趨于.4模型性質(zhì)及引理對(duì)任意的及，定義為時(shí)刻位于點(diǎn)的粒子的個(gè)數(shù);定義為時(shí)刻位于點(diǎn)的粒子中第粒子生成下一代的個(gè)數(shù)，則，，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且滿足:，.對(duì)于，它滿足對(duì)任意的及有對(duì)BWRE上的BPRE，任取