拉格朗日條件極值.doc

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1、拉格朗日乘子法的簡單證明(不知道對不對)應用例題：已知有一個體積為a的鐵塊。把這個鐵塊打造成一個長方體，求其表面積s的極小值。解:依據(jù)題意有如下關系式構造函數(shù)M如下：只要求M函數(shù)的極值，即為s的極值。以上四個方程可解出四個未知數(shù)x，y，z，c。將(7)帶入(4)，(5)，(6)后得：可得:此時，面積s為：證明過程：拉格朗日乘子法，拉格朗日條件極值。已知，自變量x和y符合關系式(1)，求表達式(2)的極值。解:若可以從(1)式中求出y的表達式(3)，則可以把(3)式帶入(2)式。此時，就變成求單個自變量的函數(shù)極值問題，即為(4)式。對(1)進行全微分，可得(5)

2、式,進而得到(6)式。將(6)式帶入(4)式可得(7)式。設極值點坐標為(x0,y0),則此時將極值點坐標帶入(7)，并采用(8)式記號后得(9)式反過來，我們假設存在(10)式，則將極值點的坐標(x0,y0)帶入后可得(10)式等于0。依據(jù)(8)式定義知當坐標(x0,y0)確定后λ(x0,y0)為一常數(shù)(但此前λ(x,y)為變數(shù))。類似可得(11)式反過來，我們假設存在(12)式，則將極值點的坐標(x0,y0)帶入后可得(12)式等于0。對于符合限制條件的自變量，在極值點處有(14)式成立,進而可得(15)式在極值點處(6)式和(15)式同時成立。對比(6)

3、式和(15)式后得出(16)式。因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。以上事實提示我們可以預先構造出如下函數(shù)通過以上分析可知，在g函數(shù)的極值(x0,y0)處，則必有以下三式同時成立在極值點的時候，以上三個式子聯(lián)立可以求得x0,y0,μ