關(guān)系及其表示法-集合與關(guān)系-離散數(shù)學(xué).ppt

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1、關(guān)系及其表示法1關(guān)系是一個非常普遍的概念，如數(shù)值的大于關(guān)系、整除關(guān)系，人類的父子關(guān)系、師生關(guān)系、同學(xué)關(guān)系等。要求：1、理解定義關(guān)系定義域（前域）、值域2、掌握關(guān)系的表示方法3、熟記特殊的關(guān)系4、會計算關(guān)系的集合運算21.關(guān)系的定義空集或任一序偶的集合，都稱為一個二元關(guān)系。設(shè)A、B是集合，若R?A×B，則稱R是一個從A到B的二元關(guān)系。若R?A×A，則稱R是A上的二元關(guān)系。二元關(guān)系簡稱為關(guān)系。?R可記作xRy；一、基本概念設(shè)R1＝{<1,2>,}，R2＝{<1,2>,a,b}。則R1是二元關(guān)系，R2不是二元關(guān)系，只是一個集合。舉例關(guān)系是以序偶為元素的集合。?R可

2、記作xRy定義1：定義2：?R,xRy，表示x和y具有關(guān)系R。?R，表示x和y不具有關(guān)系R。3注意：關(guān)系集合滿足以下條件之一：(1)集合非空，且它的元素都是序偶；(2)集合是空集，即空集也可稱作關(guān)系。序偶是講究次序的，關(guān)系也是有序的。即∈R未必有∈R，x與y有關(guān)系R，未必y與x有關(guān)系R。例：甲與乙有父子關(guān)系，則乙與甲肯定沒有父子關(guān)系。由于任何A×B的子集都是一個二元關(guān)系，而A×B共有2

3、A

4、╳

5、B

6、個不同的子集。因此，從A到B不同的關(guān)系共有2

7、A

8、╳

9、B

10、個。1.2.3.4例3-5.1①A={0,1}，B={x,y,z}，則R1={<0,x>，<1

11、,z>}，R2=A×B，R3=?等都是從A到B的二元關(guān)系；R4={<0,0>}和R3同時也是A上的二元關(guān)系。②A為整數(shù)集合，則R={

12、x能整除y(即x

13、y),x,y?A}為A上的整除關(guān)系。如：<1,3>,<2,8>,<4,80>,<7,84>等等。③父子關(guān)系：{

14、x?人類，y?人類，且x是y的父親(y是x的兒子)}5④有王、張、李、趙是某校的老師，該校有三門課程：程序設(shè)計、離散數(shù)學(xué)和英語，已知王可以教程序設(shè)計和離散數(shù)學(xué)，張可以教程序設(shè)計和英語，李可以教離散數(shù)學(xué)，趙可以教英語，若記A={王,張,李,趙}，B={程序設(shè)計,離散數(shù)學(xué),英語}。那么這些老師與課程之間的對應(yīng)關(guān)系

15、就可以用由A到B的一個關(guān)系R中的序偶來表示。R={<王,程序設(shè)計>,<王,離散數(shù)學(xué)>,<張,程序設(shè)計>,<張,英語>,<李,離散數(shù)學(xué)>,<趙,英語>}62.三個特殊關(guān)系（1）空關(guān)系Φ：因為Φ?A×B，(或Φ?A×A)，所以Φ也是一個從A到B(或A上)的關(guān)系，稱為空關(guān)系。（2）完全關(guān)系(全域關(guān)系)E：即含有A×B(或A×A)全部序偶的關(guān)系，A×B(或A×A)本身也是一個從A到B(或A上)的關(guān)系，稱為完全關(guān)系。（3）A上的恒等關(guān)系IA：IA?A×A,且IA={

16、x∈A}稱為A上的恒等關(guān)系。A={1,2,3},則空關(guān)系=ΦEA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,

17、2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}。舉例7其他常見的關(guān)系小于或等于關(guān)系：LA={

18、x,y∈A∧x≤y}，其中A?R。整除關(guān)系：DA={

19、x,y∈A∧x整除y}，其中A?Z*Z*是非零整數(shù)集包含關(guān)系：R?＝{

20、x,y∈A∧x?y},其中A是集合族。設(shè)A={1,2,3}，B＝{a,b},則(1)LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}(2)令C=ρ(B)={?,{a},,{a,b}}，

21、則C上的包含關(guān)系是R?＝{,,,,<{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<,>,<,{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}舉例8二、關(guān)系的表示方法1.枚舉法即將關(guān)系中所有序偶一一列舉出，寫在大括號內(nèi)。如R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}。2.謂詞公式法即用謂詞公式表示序偶的第一元素與第二元素間的關(guān)系。如“<”={

22、x∈N∧y∈N∧x

23、的關(guān)系圖。⑴從A到B的二元關(guān)系R的關(guān)系圖。⑵A上的二元關(guān)系R的關(guān)系圖。10ABR:⑴A到B二元關(guān)系R的關(guān)系圖設(shè)A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，R是A到B二元關(guān)系，R的關(guān)系圖的繪制方法如下：4。3。2。1。。c。b。a①畫出m個小圓圈（實心或空心）表示A的元素，再畫出n個小圓圈表示B的元素。這些小圓圈叫做關(guān)系圖的結(jié)點。②關(guān)系中的序偶?ai,bj?，畫一條從ai到bj的有方向(帶箭頭)的線。這些有方向的線叫關(guān)