值域核與不變子空間.ppt

《值域核與不變子空間.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、§1.6值域、核與不變子空間一、定義和若干性質(zhì)定義1.2.1(P.23)線性變換的象空間和零空間設(shè)線性映射T：V?U，值域R(T)=｛?：???V，?=T(?)｝?U核空間N（T）=｛?：??V，T(?)=0｝定理1.10N(T),R(T)分別是V,U的子空間基于以上原因，所以T值域又稱為T的象子空間，Ｔ的核子空間又稱為Ｔ的零子空間.定義1.14設(shè)T是線性空間V上的線性變換，R(T)的維數(shù)稱為T的秩，記為rankT；而N(T)的維數(shù)稱為T的零度或虧度，記為nullT.T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）定理1.11設(shè)T是n維線性

2、空間V上的線性變換，且T在V的一組基下的矩陣是A，則（1）T的值域R(T)是生成的子空間，即（2）T的秩=r(A).例1.35由例1.31知R3上的投影變換f:(a,b,c)?(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩陣為由定理1.11知的T秩=2.事實上，由例1.34知：R3上的投影變換f的值域就是xoy平面.定理1.12設(shè)V,U分別是數(shù)域P上的n維和m維線性空間，T:V?U的線性映射，則DimR(T)+dimN(T)=n設(shè)A為階矩陣，稱為矩陣A的值域；為A的核。、稱為的秩和零度。（2）

3、推論（3），n為A的列數(shù)。（1）（2）例1.36設(shè)在R2?2上的線性變換定義為求T的值域R(T)及核子空間N(T)基與維數(shù)，并問R(T)+N(T)是否是直和？=定理1.13設(shè)V,U是有限維線性空間,線性變換T:V?U則T是單射當(dāng)且僅當(dāng)N（T）={0};T是滿射當(dāng)且僅當(dāng)R(T)=U.定理1.14設(shè)V是n維線性空間,線性變換T：V?V則以下條件等價：（1）T是單射；（2）T是滿射；（3）T是雙射。二、R上線性方程組求解理論設(shè)把A看成Rn?Rm的線性映射x?Rn,x?y=Ax?RmA=(?1,?2,…,?n)則有定理1.15(1)R(A)=Spa

4、n{?1,?2,…,?n};(2)dimR(A)=r(A),其中r(A)是A的秩.我們利用線性映射中零空間與值域的概念，來討論線性方程組的求解問題定理1.16設(shè)則（1）線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)（2）線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)（3）線性方程組有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)推論在上面的定理中，取b=0,則有（1）線性方程組必有解；（2）線性方程組只有零解當(dāng)且僅當(dāng)（3）線性方程組有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于矩陣秩的有關(guān)結(jié)論定理1.17設(shè)A?Rm?n,B?Rn?l,則（1）r(AB)=r(B)-dim[N(A)?R(B)]（2）r(AB)=r(A)-dim[N(BT)

5、?R(AT)]證明：我們定義線性映射C：R(B)?R(A),x?y=Ax?R(A)則N(C)=R(B)?N(A),R(C)=R(AB).事實上，若x?R(B)且Ax=0,則x?R(B)?N(A),從而N(C)?R(B)?N(A),反之若x?R(B)?N(A),則x?R(B)且x?N(A),所以Ax=0,從而x?N(A),故N(C)?R(B)?N(A),于是N(C)＝R(B)?N(A)。又R(C)=A(R(B))=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB)由維數(shù)公式知dimR(B)=dimR(C)+dimN(C)=dimR(AB)+dim[N(

6、A)?R(B)]也即r(AB)=r(B)-dim[N(A)?R(B)]。又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(BT)知r(AB)=r(A)-dim[N(BT)?R(AT)]成立。推論Sylverster不等式：min{r(A),r(B)}?r(AB)?r(A)+r(B)-n其中，n是矩陣A的列數(shù)。證明：左邊顯然成立。對于右邊，由于dim[R(B)?N(A)≤dimN(A)利用上面的定理則有R(AB)=r(B)-dim[R(B)?N(A)?r(B)-dimN(A)=r(B)-[n-r(A)]=r(B)+r(A)-n.定理1.18設(shè)A

7、?Rn×n,則下列條件等價1）N(A)=N(A2);2）dimN(A)=dimN(A2);3）r(A)=r(A2);4）R(A)=R(A2);5）N(A)?R(A)={0};6）Rn=N(A?R(A);7）,其中P是n階可逆矩陣，D的r階可逆矩陣，r=r(A).8）A=QA2.定理1.19設(shè)A?Rn?n,則以下條件等價：1）A2=A;2）R(A+I)=N(A-I)以及R(A－I)=N(A＋I(xiàn))；3）r(A+I)+r(A-I)=n;4)Rn=N(A+I)+N(A-I).例1.37平面上全體向量，對如下定義的加法和數(shù)乘則R2按照上述定義不構(gòu)成R

8、上的線性空間。例38．設(shè)記求證L(A)為R2?2的線性子空間，并求dimL(A).例1.39設(shè)有R3的兩個子空間：分別求子空間W1+W2，W1?W2的基與維數(shù).例1.40設(shè)W1,