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1、第2章仿射變換2.2仿射不變性與不變量經(jīng)過平行射影不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性質(zhì)和仿射不變量.．經(jīng)過仿射對應(yīng)它們也是不變的．由前面所述，可知同素性、結(jié)合性都是仿射不變性質(zhì)．因此，仿射對應(yīng)把共點的線變成共點的線，把共線的點變成共線的點．此外我們還可以證明如下的一些不變性質(zhì)和不變量．定理2.1二直線間的平行性是仿射不變性質(zhì)．證明設(shè)與是平面內(nèi)的兩條平行線，與是它們在平面內(nèi)的仿射對應(yīng)下的象．下面證明與平行．若與不平行，交于點，那有原象點，在上，又在上，于是與相交于，即與不平行矛盾，于是與平行．a(chǎn)ba’b’圖2-4由上面的結(jié)果可知推論2.2平行四邊形在仿射對應(yīng)下的象還是平行四邊形．思考題
2、：正方形在仿射對應(yīng)下的象是不是正方形？定義2.1設(shè)是直線上三點（見圖2-5），有向線段的比,稱為這三點的簡比（或單比），記為，即.ABC圖2-5顯然：⑴當在之間時，,⑵當在之外時，,⑶當時，,⑷當時，．定理2.3共線三點的簡比是仿射不變量．證明首先注意到，簡比在平行射影下是不變的，(見圖2-6).由初等幾何這是顯然的.因此，經(jīng)過有限次平行射影變換也是不變的，即它是仿射不變量．圖2-6定理2.4兩條平行線段的比是仿射不變量．證明設(shè)與是兩條平行的線段見圖2-7，過上取，使是平行四邊形，它們在仿射對應(yīng)下的象是與．由上面推論2.2可知，是平行四邊形，平行與，由于簡比是仿射不變量，因此圖2-7
3、定理證畢．定理2.5直線上兩條線段的比是仿射不變量．證明留做作業(yè)．注：一般地，任意兩直線段之比，不是仿射不變量.下面證明：平面上兩個圖形的面積之比是仿射不變量.先證明一個引理．引理2.6在平行射影下，任何一對對應(yīng)點到對應(yīng)軸的距離之比是一個常數(shù)．證明設(shè)與，與是兩對平行射影對應(yīng)點，如圖2-8，ACBA0b0PgAC’0C0BB’A’C’圖2-8圖2-9從而平行于，從這些點到對應(yīng)軸作垂線，若和平行與對應(yīng)軸，結(jié)論是明顯的.設(shè)與交于.則而于是從而有（常數(shù)）這個比例常數(shù)由平行射影確定．定理2.7在仿射對應(yīng)下，任何一對對應(yīng)三角形面積之比等于常數(shù).換句話講，任意兩個三角形面積之比是仿射不變量．證明先
4、對平行射影證明，然后推廣到仿射對應(yīng)．⑴若對應(yīng)三角形與有兩對對應(yīng)點，與與重合在對應(yīng)軸上，由第三對對應(yīng)點與，作的垂線見圖2-9.則，這里表示了三角形的面積，由引理2.6知道，上式右邊是一個常數(shù)，所以．⑵一般情況.如圖2-10所示，與平行射影對應(yīng)的中，三對對應(yīng)邊相交于對應(yīng)軸上于三點．CABYXZABC圖2-10由上一步的證明，，.當與有一對對邊平行，且與沒有交點時，結(jié)論顯然還是成立的.上面對平行射影證明了定理2.7，下面就一般的仿射對應(yīng)證明定理2.7．設(shè)上三角形經(jīng)平行射影變到上三角形經(jīng)到的平行射影變到上，以此類推，上經(jīng)過到的平行射影變到上三角形．由上面證明，每一次投影，有一個面積比較常數(shù)，
5、于是所以.若是上另一個三角形，經(jīng)過變成上三角形，且,故有證畢．推論2.8任何兩個多邊形的面積之比是仿射不變量，因此任意兩個圖形的面積之比是仿射不變量。．練習２－２1、證明：三角形的重心有仿射不變性．2、證明：平行四邊形的中心有仿射不變性．3、證明：梯形在仿射對應(yīng)下仍為梯形．4、證明：任意兩個多邊形面積之比是仿射不變量．5、已知平面上的一條定直線為平面上的任意一點,點的對應(yīng)點是點p關(guān)于直線的對稱點,這種變換稱為反射變換,定直線叫做它的軸.試證明:反射變換是仿射變換．
