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1、單線段最值問(wèn)題（一）——基本分類(lèi)鄧晉榮一、單動(dòng)點(diǎn)若要求最值的線段一端為定點(diǎn)，另一端為動(dòng)點(diǎn)，則需要研究動(dòng)點(diǎn)所在軌跡，一般為圓或直線．1.點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，A是直線外一點(diǎn)，求AP的最小值．過(guò)點(diǎn)A作AP??l，垂足為P?，則AP??AP．AlPP'2.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P為O上一動(dòng)點(diǎn)，A是圓外一點(diǎn)，求AP的最值．連接AO并延長(zhǎng)，交O于P、P兩點(diǎn)，則AP??APAP．1212PAP2P1O例1.如圖，已知正方形ABCD，AB?2，E、F分別在BC、CD上運(yùn)動(dòng)，且BE?CF，AE、BF交于點(diǎn)G，則CG的最小值為_(kāi)_________．例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系
2、中，已知點(diǎn)A?2,4?，點(diǎn)P?1,0?，B是軸y上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB?AC交x軸于點(diǎn)C，M是BC中點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)_________．例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸上，OA?3，OC?4，D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在與點(diǎn)B同側(cè)作正方形CDEF，則OE的最小值為_(kāi)_________．ADyyEADBABFMFGBECOPCxOCx例1例2例3例4.如圖，在邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，AD?BC，點(diǎn)E是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，把線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60?得到CF，連接DF，則DF的最小值為_(kāi)_________．例
3、5.如圖，在Rt△ABC中，?ACB?90?，AC??BC4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交以CD為直徑的圓于點(diǎn)E，則BE的最小值為_(kāi)_________．例6.如圖，在△ABC中，?ACB?90?，?BAC?30?，BC?2，D是AB邊上一點(diǎn)，以AD為邊在△ABC外側(cè)作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線，F(xiàn)是垂線上一點(diǎn)，G是EF中點(diǎn)，則CG的最小值為_(kāi)_________．AAFGBEDEEBCCADCBD例6F例4例53.多動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)（1）雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)單動(dòng)點(diǎn)例7.如圖，在Rt△ABC中，??C90?，AC?4，BC?3，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，DE?AC，DF?BC，則
4、EF的最小值為_(kāi)_________．例8.如圖，A與x軸交于B?2,0?、C?4,0?兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，DP切A于點(diǎn)D，則DP的最小值為_(kāi)_________．yAAEDOBCxDPBCF例8例7（2）相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化例9.如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x、y軸上運(yùn)動(dòng)，且AB?2，在第一象限作等邊△ABC，則OC的最大值為_(kāi)_________．例10.如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、直線yx?上運(yùn)動(dòng)，且AB?2，以AB為邊在點(diǎn)O異側(cè)作等邊△ABC，則OC的最大值為_(kāi)_________．yyCCBBxxOAOA例10例9二、圓中的弦圓中的弦，由半徑與圓心角
5、（圓周角）決定，若圓心角固定，則弦的最值轉(zhuǎn)化為半徑的最值．半徑的最值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也可以由半徑與弦的關(guān)系求得（02??lr）．例11.如圖，在△ABC中，AB??AC8，?BAC?120?，D在線段BC上且CD?3BD，點(diǎn)E、F分別在射線BA、CA上，若?EDF?60?，則EF的最小值為_(kāi)_________．392例12.如圖，已知y??x?x?6與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D是線段84BC上一動(dòng)點(diǎn)，P是AD中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F兩點(diǎn)，則EF的最小值為_(kāi)_________．例13.如圖，在Rt△ABC中，AC?6，B
6、C?8，P、Q是AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，△CPQ的外接圓，恰好與直線AB相切，則PQ的最小值為_(kāi)_________．CAyDOEPxFABPBBCQEAD例11例13FC例12三、動(dòng)態(tài)折疊動(dòng)態(tài)折疊的情況更加復(fù)雜，可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也可能無(wú)法轉(zhuǎn)化．例14.如圖，在Rt△ABC中，?ACB?90?，AC?6，BC?4，D是AC中點(diǎn)，E在BC上運(yùn)動(dòng)，沿DE折疊，使點(diǎn)C落在C?處，則BC?的最小值為_(kāi)_________．例15.如圖，在Rt△ABC中，?ACB?90?，AC?6，BC?8，D、E分別是AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)C落在C?處，則AC?的最小值為_(kāi)_
7、________．例16.如圖，已知等邊△ABC，邊長(zhǎng)為4，D、E是AC、AB上兩動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A恰好落到BC上，則CD的最大值為_(kāi)_________．AAADDDEC'C'BBCECECBA'例14例15例16單線段最值問(wèn)題（二）——連鎖軌跡鄧晉榮例1.如圖，在△ABC中，AB?2，AC?3，以BC作等邊△BCD，B、D、C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，則AD的最大值為_(kāi)_________．例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸上，OA?3，OC?4，D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在與點(diǎn)B同側(cè)作正方形CDEF，則OE的最小值為_(kāi)______
8、___．例
