充要條件判定及簡易邏輯.doc

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1、二、充要條件的判定及簡易邏輯思考：除了常見的判斷充要條件的方法之外，對于這一部分的習(xí)題，我們需要關(guān)注一些什么？全稱命題、存在性命題及其否定形式；四種命題及相互關(guān)系；反證法；聯(lián)系其它知識的平臺。預(yù)熱題組：1、與命題“若mM,則nM”等價的命題是：A．若mM,則nMB．若nM,則mMC．若mM,則nMD．若nM,則mM答案：D2、“”是“x<1或x>4”的條件：A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B3、命題“若a>1，則a>0”的逆命題是____________，逆否命題是__________．答案：逆命題為：若a>

2、0，則a>1，逆否命題為：若a0，則a14、寫出命題“”的否定______．答案：5、命題“m=1”是命題“函數(shù)是二次函數(shù)”的____________條件．答案：充分不必要6、若0

3、α

4、<2且

5、β

6、<2是2

7、a

8、<4+b且

9、b

10、<4的充要條件.證明：(1）（充分性）若

11、α

12、<2且

13、β

14、<2，則2

15、a

16、<4+b且

17、b

18、<

19、4由韋達(dá)定理，得

20、b

21、=

22、α·β

23、=

24、α

25、·

26、β

27、＜2×2=4.設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.且兩根均在之間∴f(±2)>0.即有4+b>2a>－(4+b)又

28、b

29、＜44+b>02

30、a

31、＜4+b(2)（必要性）若2

32、a

33、<4+b且

34、b

35、<4，則

36、α

37、<2且

38、β

39、<2由2

40、a

41、＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實根.∵α，β是方程f(x)=0的實根，∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即

42、α

43、＜2且

44、β

45、＜2.例2：已知p：

46、1－

47、≤2,q

48、:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.分析：由逆否命題與原命題同真同假可知：“?p是?q的必要而不充分條件”等價于“q是p的必要而不充分條件”，即，但q推不出p。解：由

49、1－

50、≤2，解得：由x2－2x+1－m2≤0，解得：?p是?q的必要而不充分條件，所以：，但q推不出p即，，解得：例3：已知數(shù)列{an}的前n項Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件.答案：充要條件為：證明：（1）當(dāng){an}等比，公比為Q時，則有：，所以，且，即（2）當(dāng)時，而，即數(shù)列等比。例

51、4：p:－2

52、x+a

53、+b是奇函數(shù)的充要條件是()A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=0答案：D，提示：奇函數(shù)，則有恒成立，可求得：練習(xí)2：“a=1”是函數(shù)y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的()A.充分不必要條件B.

54、必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也不是必要條件答案：A，提示：y=cos2ax－sin2ax=cos2ax，最小正周期為，所以練習(xí)3：a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.答案：充要條件，提示：平行，則，則，但時兩直線重合，所以只有時兩直線平行。練習(xí)4：命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點P(x0,y0),命題B：曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點P(x0,y0),則A是B的__________條件.答案：充分不必要條件練習(xí)5：設(shè)α

55、，β是方程x2－ax+b=0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？答案：必要不充分條件，解法同于例4。練習(xí)6：已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：bn=,求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.證明：（必要性）等差，則等差設(shè)的首項為，公差為，則有其中，所以有：即：為常數(shù)，所以數(shù)列等差。（充分性）數(shù)列等差，則等差設(shè)的首項為，公差為，則有：所以，兩式做差，得：整理得：所以，為常數(shù)，所以數(shù)列等差。練習(xí)7：已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不

56、同交點的充要條件.分析：就是聯(lián)立方程在上有兩個解。解：線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3)，由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點，所以方程組，聯(lián)立方程：有兩個不同的實數(shù)解。方法一：（利