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《高考金鑰匙數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題十四 用空間向量法解決立體幾何問題.pdf》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、專題十四用空間向量法解決立體幾何問題考問題14 用空間向量法解決立體幾何問題1.(2012·山東)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.[來源:學(xué)科網(wǎng)](1)求證:BD⊥平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值.(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°,因此∠ADB=90°,AD⊥BD,又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED
2、,所以BD⊥平面AED.(2)解 連接AC,由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)CB=1,則C(0,0,0),B(0,1,0),31D,-,0,F(xiàn)(0,0,1),(22)→33→因此BD=,-,0,BF=(0,-1,1).(22)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),→→則m·BD=0,m·BF=0,所以x=3y=3z,取z=1,則m=(3,1,1).→由于CF=(
3、0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量,→m·CF→15則cos〈m,〉=CF==,→55
4、m
5、
6、CF
7、5所以二面角FBDC的余弦值為.5對(duì)立體幾何中的向量方法部分,主要以解答題的方式進(jìn)行考查,而且偏重在第二問或者第三問中使用這個(gè)方法,考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問題的計(jì)算,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題.空間向量的引入為空間立體幾何問題的解決提供了新的思路,作為解決空間幾何問題的重要工具,首先要從定義入手,抓住實(shí)質(zhì),準(zhǔn)確記憶向量的計(jì)算公式,注意向量與線面關(guān)系、線面角、面面角的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化;其次要從向量的基
8、本運(yùn)算入手,養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣,確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.必備知識(shí)直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α、β的法向量分別為μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同).(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a3+b1b3+c1c3=0.(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3.(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ=λv?a3=λa4,b3=λb4,c3=λc4.(4)面面垂直α⊥β?μ
9、⊥ν?μ·v=0?a3a4+b3b4+c3c4=0.空間角的計(jì)算(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為θ,則
10、a·b
11、cosφ=
12、cosθ
13、=(其中φ為異面直線a,b所成的角).
14、a
15、
16、b
17、(2)直線和平面所成角的求法如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角
18、e·n
19、為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=
20、cosθ
21、=.
22、e
23、
24、n
25、(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如圖所示,〈m,n〉即為所求二面角的平面角.②對(duì)于易于建立空間直
26、角坐標(biāo)系的幾何體,求二面角的大小時(shí),可以利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來求.如圖所示,二面角αlβ,平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2,〈n1,n2〉=θ,則二面有αlβ的大小為θ或πθ.空間距離的計(jì)算直線到平面的距離,兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.→
27、PM·n
28、點(diǎn)P到平面α的距離,d=(其中n為α的法向量,M為α內(nèi)任一點(diǎn)).
29、n
30、必備方法1.空間角的范圍π(1)異面直線所成的角(θ):0<θ≤;2π(2)直線與平面所成的角(θ):0≤θ≤;2(3)二面角(θ):0≤θ≤π.2.用向量法證明平行、垂直問題的步驟
31、:(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系,也可以不建系),用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面;(2)通過向量運(yùn)算研究平行、垂直問題;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.3.空間向量求角時(shí)考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系:(1)求線面角時(shí),得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦,而不是線面角的余弦;(2)求二面角時(shí),兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角,要注意從圖中分析.向量法證明垂直與平行多以多面體(特別是棱柱、棱錐)為載體,求證線線、線面、面面的平行或垂直,其中邏輯推理和向量計(jì)算各有千秋,邏輯推
32、理要書寫清晰,“充分”地推出所求證(解)的結(jié)論;向量計(jì)算要步驟完整,“準(zhǔn)確”地算出所要求的結(jié)果.【例1】?如圖所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn).求證:(