最新高考數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘 專(zhuān)題 用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題

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1、專(zhuān)題十四用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題考問(wèn)題14　用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題　1.(2012·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)](1)求證：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．(1)證明　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)解　連接AC，由(1)知AD⊥B

2、D，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB＝1，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(xiàn)(0,0,1)，因此＝，＝(0，－1,1)．設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)，則m·＝0，m·＝0，所以x＝y(tǒng)＝z，取z＝1，則m＝(，1,1)．由于＝(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量，則cos〈m，〉＝＝＝，所以二面角FBDC的余弦值為.對(duì)立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問(wèn)或者第三問(wèn)中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是

3、使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問(wèn)題的計(jì)算，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題．空間向量的引入為空間立體幾何問(wèn)題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問(wèn)題的重要工具，首先要從定義入手，抓住實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確記憶向量的計(jì)算公式，注意向量與線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)面角、面面角的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化；其次要從向量的基本運(yùn)算入手，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.必備知識(shí)直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)線(xiàn)面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝

4、0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)線(xiàn)面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λv?a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥ν?μ·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.空間角的計(jì)算(1)兩條異面直線(xiàn)所成角的求法設(shè)直線(xiàn)a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cosφ＝

5、cosθ

6、＝(其中φ為異面直線(xiàn)a，b所成的角)．(2)直線(xiàn)和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線(xiàn)l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝

7、cosθ

8、＝.(3)

9、二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，〈m，n〉即為所求二面角的平面角．②對(duì)于易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角的大小時(shí)，可以利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來(lái)求．如圖所示，二面角αlβ，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面有αlβ的大小為θ或πθ.空間距離的計(jì)算直線(xiàn)到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．點(diǎn)P到平面α的距離，d＝(其中n為α的法向量，M為α內(nèi)任一點(diǎn))．必備方法1．空間角的范圍(1)異面直線(xiàn)所成的角(θ)：0＜θ≤；(2)直線(xiàn)與平面所成的角(θ)：0≤θ≤；(3)二面角(θ)：0≤θ≤π.2．用

10、向量法證明平行、垂直問(wèn)題的步驟：(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面；(2)通過(guò)向量運(yùn)算研究平行、垂直問(wèn)題；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題．3．空間向量求角時(shí)考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系：(1)求線(xiàn)面角時(shí)，得到的是直線(xiàn)方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線(xiàn)面角的余弦；(2)求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析.多以多面體(特別是棱柱、棱錐)為載體，求證線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行或垂直，其中邏輯推理和向量計(jì)算各有千秋，邏輯推理要書(shū)寫(xiě)清晰，“充分”地推出所求證(解)的結(jié)論；向量計(jì)

11、算要步驟完整，“準(zhǔn)確”地算出所要求的結(jié)果．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】?如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[審題視點(diǎn)]　　[聽(tīng)課記錄](méi)[審題視點(diǎn)]建系后，(1)在平面ABC內(nèi)尋找一向量與共線(xiàn)；(2)在平面AEF內(nèi)尋找兩個(gè)不共