現(xiàn)代控制理論――綜合課件.ppt

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1、第五章線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì)5.1引言描述分析解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等)和定性行為(如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等)；綜合與設(shè)計(jì)在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。5.1.1問題的提法給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式若再給定系統(tǒng)的某個(gè)期望的性能指標(biāo)，它既可以是時(shí)域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時(shí)間、極、零點(diǎn))，也可以是使某個(gè)性能函數(shù)取極

2、小或極大。此時(shí)，綜合問題就是尋求一個(gè)控制作用，使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標(biāo)。對(duì)于線性輸出反饋控制律其中為參考輸入向量。對(duì)于線性狀態(tài)反饋控制律由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為或閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為即或閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣作為綜合問題，將必須考慮三個(gè)方面的因素，即：1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問題，即魯棒性(Robustness)問題；3)控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)問題。5.1.2性能指標(biāo)的類型II.非優(yōu)化型性能指標(biāo)I.優(yōu)化型性能指標(biāo)鎮(zhèn)定問題:漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)極點(diǎn)配置問題:

3、以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)解耦問題:MIMO系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)跟蹤問題:使系統(tǒng)的輸出無靜差地跟蹤外部信號(hào)稱為最優(yōu)控制（線性二次型最優(yōu)控制，即LQ調(diào)節(jié)器問題）。和控制通常取為相對(duì)于狀態(tài)的二次型積分性能指標(biāo)，即其中加權(quán)陣或，且能觀測(cè)。任務(wù)就是確定，使相應(yīng)的性能指標(biāo)極小。5.1.3研究綜合問題的主要內(nèi)容1、可綜合條件2、控制規(guī)律的算法問題5.1.4工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問題1、狀態(tài)重構(gòu)問題2、魯棒性(Robustness)問題3、抗外部干擾問題經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不

4、管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點(diǎn)配置問題。5.2極點(diǎn)配置問題可證明，若被控系統(tǒng)狀態(tài)能控，則可通過選取合適狀態(tài)反饋增益矩陣，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意的期望位置。首先假定期望閉環(huán)極點(diǎn)為，,…，。以下僅研究控制輸入為標(biāo)量的情況！5.2.1問題的提法給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)式中。選取線性反饋控制律為控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值決定。如果矩陣選取適當(dāng)，可使矩陣構(gòu)成一個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣，

5、此時(shí)對(duì)所有的為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于的左半平面內(nèi)，則當(dāng)將這種使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問題，稱極點(diǎn)配置問題。，當(dāng)時(shí)，都可使。一般稱矩陣的特征值時(shí)，有。5.2.2可配置條件如果選取控制規(guī)律為現(xiàn)在考慮極點(diǎn)的可配置條件，即如下的極點(diǎn)配置定理?？紤]由式線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入的幅值是無約束的。式中為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)定理5.1(極點(diǎn)配置定理)線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。證明：略現(xiàn)在考慮單輸入

6、單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法。給定線性定常系統(tǒng)若線性反饋控制律為則可由下列步驟確定使的特征值為，，…,（即閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)值）的線性反饋矩陣（如果是一個(gè)復(fù)數(shù)特征值，則其共軛必定也是的特征值）。第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。確定出的值。的征多項(xiàng)式第2步：利用系統(tǒng)矩陣5.2.3極點(diǎn)配置的算法第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。非奇異線性變換矩陣P可由下式給出若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P=I。第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的

7、特征多項(xiàng)式為并確定出的值。第5步：此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡(jiǎn)便。例如，若n=3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為進(jìn)而將此代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，使其等于即如果n=2或者n=3，這種方法非常簡(jiǎn)便（對(duì)于n=4,5,6,…，這種方法可能非常繁瑣）。還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。注意，如果是低階系統(tǒng)（），則將線性反饋增益矩陣K直接代入由于該特征方程的兩端均為的多項(xiàng)式，故可通過使其兩端的系數(shù)相等，來確定，，同次冪的值。5

8、.2.4愛克曼公式(Ackermann’sFormula)考慮系統(tǒng)，重寫為假設(shè)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，又設(shè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為利用線性狀態(tài)反饋控制律則所期望的特征方程為由于凱萊-哈密爾頓定理指出應(yīng)滿足其自身的特征方程，所以將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為以此式來推導(dǎo)愛克曼公式。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，考慮n=3的情況。（需要指出的是，對(duì)任意正整數(shù)，下面推導(dǎo)可方便地加以推廣。）考慮下列恒等式將上述方程分別乘以，并相加，則可得可得也可得到由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣的逆存在。在