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1、現(xiàn)代控制理論ModernControlTheory (10)俞立浙江工業(yè)大學信息工程學院4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性定理通過分析系統(tǒng)能量的變化來確定系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性！系統(tǒng)的運動方程是一個能量函數(shù)（應(yīng)該是正定的）：沿狀態(tài)軌線，系統(tǒng)能量的變化率：如果它是負定的，則沿狀態(tài)軌線，系統(tǒng)能量是減少的。抽象總結(jié)成以下的一般結(jié)論定理4.2.1對非線性系統(tǒng)，原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)1。是正定的；2。沿系統(tǒng)的任意軌線，關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)負定則系統(tǒng)在原點這個平衡狀態(tài)處是漸近穩(wěn)定的。進而，當，若，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。滿足條件（1）和（2）的函數(shù)V(x,t)稱為是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。定理
2、的說明給出的判據(jù)是充分的，即若能找到一個李雅普諾夫函數(shù)，則可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；若找不到，則沒有結(jié)論；如何尋找李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未解決，只有試湊；對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定?大范圍漸近穩(wěn)定；若半負定，表明系統(tǒng)的能量不會增加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；定理適合于線性、非線性、時變、定常系統(tǒng)。例分析以下系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性解原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。選?。ㄗ詈唵蔚亩涡秃瘮?shù)）它是正定的。沿系統(tǒng)的任意軌線，上式是負定的。因此V(x)是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，且V(x)是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。對系統(tǒng)能量函數(shù)沿系統(tǒng)軌線的負定性表明系統(tǒng)狀態(tài)運動時，能量是減少的，給出的是以原點為中心的一族同心圓，隨時間推移，C不斷
3、減小，從而狀態(tài)不斷趨向于零。條件負定性的降低。定理4.2.2對非線性系統(tǒng)，原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)1。是正定的；2。沿系統(tǒng)任意軌線，關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)半負定3。在系統(tǒng)任意軌線上，不恒等于零4。當，則系統(tǒng)在原點這個平衡狀態(tài)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。能量函數(shù)的值不能老停留在一處，要不斷下降。好處：可以簡化穩(wěn)定性分析。例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，選?。?）是正定的；（2）沿系統(tǒng)的任意軌線，是半負定的。系統(tǒng)模型李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)檢驗定理的條件（3）：若即?由第2個狀態(tài)方程得，是系統(tǒng)的零狀態(tài)?由第2個狀態(tài)方程得但不滿足第1個方程，故不是系統(tǒng)的軌線。故
4、在系統(tǒng)的任意非零軌線上，不可能恒等于零。根據(jù)定理4.2.2，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。針對以上例子，對可以驗證故該函數(shù)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。表明：針對一個平衡狀態(tài)，可以有多個李雅普諾夫函數(shù)。定理4.2.3設(shè)原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若存在標量函數(shù)，滿足（1）在原點附近的某個鄰域內(nèi)是正定的；（2）在同樣鄰域內(nèi)也是正定的。則系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定的。例分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性選取正定函數(shù)不穩(wěn)定！李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)針對初始擾動的恢復(fù)能力針對特定的平衡點利用能量的概念來描述系統(tǒng)運動衰減的狀況穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念能量函數(shù)：正定、關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)負定函數(shù)定性的概念對一般的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一
5、個充分條件，而且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋找方法！不足：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法問題：對特殊的系統(tǒng)，是否有更好的結(jié)論呢？4.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性時不變系統(tǒng)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時間導(dǎo)數(shù)負定！正定?矩陣P是正定的。沿系統(tǒng)軌線的時間導(dǎo)數(shù)是一個李雅普諾夫函數(shù)的條件是：存在一個對稱正定矩陣P，使得以下矩陣不等式成立：即以上的矩陣不等式有正定解，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定！反之，可以證明：若系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則它一定有正定解定理線性時不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣P，使得特點：條件是充分必要的；給出了李雅普諾夫函數(shù)的具體構(gòu)造方法。關(guān)鍵的問題：如
6、何求解矩陣不等式：李雅普諾夫方程處理方法轉(zhuǎn)化成方程來處理。對任意選定的對稱正定矩陣Q，若（李雅普諾夫方程）有一個對稱正定解P，則矩陣P一定滿足矩陣不等式（李雅普諾夫不等式）定理線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對稱正定解矩陣。說明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣Q的選取，故一般可以選Q＝I；李雅普諾夫方程是一個線性方程組；若李雅普諾夫方程可解，則其中矩陣Q的含義是例應(yīng)用李雅普諾夫方程方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解原點是系統(tǒng)的惟一平衡點。解方程系統(tǒng)是二階的，故?求解方程組，可得驗證矩陣P的正定性根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對?矩陣P是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的李雅普諾
7、夫函數(shù)是MATLAB函數(shù)P=lyap(A,B,Q)求解矩陣方程：P=lyap(A’,Q)求解矩陣方程：作業(yè)：應(yīng)用MATLAB函數(shù)求解李雅普諾夫方程。例確定增益K的范圍，以使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。在工業(yè)應(yīng)用中常常需要根據(jù)工況，給出一些參數(shù)的在線調(diào)節(jié)范圍。解首先給出系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)：針對自治系統(tǒng)，考慮穩(wěn)定性。解以下方程，可得原點是惟一的平衡狀態(tài)。選取半正定矩陣沿系統(tǒng)任意軌線，上式不恒等于零。為什么？李雅普諾夫矩陣
