隨機(jī)變量的數(shù)字特征資料講解.ppt

《隨機(jī)變量的數(shù)字特征資料講解.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征在第二章的討論知道，離散型隨機(jī)變量的變化規(guī)律由其概率分布完全描述，連續(xù)型隨機(jī)變量由其密度函數(shù)完全描述。但在實(shí)際應(yīng)用中，概率分布或密度函數(shù)的獲得通常是困難的。另一方面，在應(yīng)用中，有時(shí)并不需要知道概率分布或密度函數(shù)，而只需知道該隨機(jī)變量的某些特征。例如，為了對(duì)某市高一學(xué)生的某門(mén)課的考試成績(jī)作分析，一般并不需要所有學(xué)生的考試成績(jī)，而只需知道每所學(xué)校的平均成績(jī)，或者各所學(xué)校成績(jī)相對(duì)于平均成績(jī)的偏離程度，有了這些指標(biāo)，就可以作橫向和縱向的比較。這里平均成績(jī)就是學(xué)生成績(jī)這一隨機(jī)變量的特征。用以刻畫(huà)隨機(jī)變量某方面特征的量，稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。常用的數(shù)字特

2、征：數(shù)學(xué)期望、方差、矩、眾數(shù)、中位數(shù)、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。如果生產(chǎn)一件次品，工廠要損失1元錢(qián)，生產(chǎn)一件一等品，工廠獲得2元錢(qián)的利潤(rùn)，生產(chǎn)一件二等品，工廠獲得1元錢(qián)的利潤(rùn)。假設(shè)生產(chǎn)了大量這樣的產(chǎn)品，問(wèn)工廠每件產(chǎn)品獲得的期望利潤(rùn)是多少？設(shè)X表示每件產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)，則它是隨機(jī)變量，其概率分布為解：解：假設(shè)工廠一共生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件這N件產(chǎn)品獲得的平均利潤(rùn)為或者寫(xiě)為而在大量重復(fù)試驗(yàn)下當(dāng)N無(wú)限增大時(shí)，頻率的穩(wěn)定值即為概率，因此，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)將

3、趨近于或者說(shuō)，如果工廠生產(chǎn)了大量該產(chǎn)品，可期望每件產(chǎn)品獲得1.3元的利潤(rùn)。數(shù)值1.3稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值。一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為：若絕對(duì)收斂，則稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值，記為，即注：度量了隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均！為權(quán)重！第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例甲乙二人射擊，X：甲擊中的環(huán)數(shù)；Y：乙擊中的環(huán)數(shù)。他們命中環(huán)數(shù)的分布律分別為試問(wèn)哪一個(gè)人的射擊水平較高?二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為：若，則稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值。離散連續(xù)概率密度函數(shù)定義設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,若

4、絕對(duì)收斂，則稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值，記為例3.3設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求的數(shù)學(xué)期望。解由連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，有三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理設(shè)為隨機(jī)變量，為實(shí)函數(shù)，為求的數(shù)學(xué)期望，可以不必通過(guò)求的概率分布（離散）或密度函數(shù)（連續(xù)），而只需直接利用的概率分布或密度函數(shù)。若絕對(duì)收斂，則存在，且（1）設(shè)為離散型隨機(jī)變量，概率分布為（2）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，若則存在，且絕對(duì)收斂，解解例3.4設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為求例3.5對(duì)例3.3中的隨機(jī)變量，求四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）若，則，特別地（3）（2）（4）第二節(jié)隨機(jī)變量的方差有可能產(chǎn)品的壽命均集中在9

5、50~1050小時(shí)！有可能一半產(chǎn)品的壽命集中在700小時(shí)，另一半產(chǎn)品的壽命集中在1300小時(shí)！對(duì)隨機(jī)變量，知道了它的數(shù)學(xué)期望，雖然對(duì)該隨機(jī)變量有了一定的了解，但還不夠！例：為評(píng)估一批燈泡的質(zhì)量好壞，從某種途徑已知其平均壽命為1000小時(shí)，即，但不能完全肯定質(zhì)量的好壞！質(zhì)量穩(wěn)定！質(zhì)量相對(duì)不穩(wěn)定！有必要找一個(gè)量，能夠度量隨機(jī)變量相對(duì)于的偏離程度。什么量，能夠度量隨機(jī)變量相對(duì)于的偏離程度？不能！是隨機(jī)變量不能?。ㄕ?fù)偏差相互抵消）不便于計(jì)算！定義設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，則稱為隨機(jī)變量的方差，記為，或，并稱為的標(biāo)準(zhǔn)差。方差的計(jì)算：考慮到方差實(shí)際上為隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：，因

6、此若為離散型隨機(jī)變量，概率分布為，則若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則在很多場(chǎng)合，計(jì)算方差經(jīng)常用到如下公式：方差的性質(zhì)：（1）（2）（3）例3.6設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為解由例3.3的結(jié)果，求的方差例3.7對(duì)任意隨機(jī)變量，設(shè)，令，求解稱為的標(biāo)準(zhǔn)化，它是一個(gè)無(wú)量綱的隨機(jī)變量，將原分布中心移至原點(diǎn)，且方差為1個(gè)單位。證例3.8對(duì)隨機(jī)變量，設(shè)存在，令，證明當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，且最小值為因此當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，且最小值為第三節(jié)常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差一、常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望和方差退化分布：離散型隨機(jī)變量只取常數(shù)，即，2.0-1分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為因此因此3.個(gè)點(diǎn)

7、上的均勻分布：4.二項(xiàng)分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為，即離散型隨機(jī)變量的概率分布為因此則5.幾何分布：隨機(jī)變量的概率分布為6.超幾何分布：隨機(jī)變量的概率分布為（證明略）7.泊松分布：隨機(jī)變量的概率分布為二、常用連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望和方差均勻分布：密度函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，則而從而2.指數(shù)分布：連續(xù)型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，密度函數(shù)為則而從而3.正態(tài)分布：則數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為（令）方差為（令）常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布名稱概率分布數(shù)學(xué)期望方差退化分布0-1分布個(gè)點(diǎn)的均勻分布二項(xiàng)分布幾何分布超幾何分布泊松