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1、中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“《數(shù)學周報》杯”2007年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得零分）??x?y?12,1．方程組?的解的個數(shù)為（）．??x?y?6（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．??x?y?12,解：若x≥0，則?于是y?y??6，顯然不可能．??x?y?6,???x?y?12,若x?0，則???x?y?6,于是y?y?18，解得
2、y?9，進而求得x??3．?x??3,所以，原方程組的解為?只有1個解．?y?9,故選（A）．2．口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個．現(xiàn)從中任取10個球，使得白球不少于2個但不多于8個，紅球不少于2個，黑球不多于3個，那么上述取法的種數(shù)是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚舉法：紅球個數(shù)白球個數(shù)黑球個數(shù)種數(shù)52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16種．故選（B）．3．已知△ABC為銳角三角形
3、，⊙O經過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E．若⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則⊙O一定經過△ABC的（）．（A）內心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如圖，連接BE，因為△ABC為銳角三角形，所以?BAC，?ABE均為銳角．又因為⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，且DE為兩圓的公共弦，所以?BAC??ABE．于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC．若△ABC的外心為O，則?BOC?2?BAC，所以，⊙O11一定過△ABC的外心．（第3題答案圖）故選（B）．4．已知三個關于x的一元二次方
4、程ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0a2b2c2恰有一個公共實數(shù)根，則??的值為（）．bccaab（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：設x是它們的一個公共實數(shù)根，則0ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0．000000把上面三個式子相加，并整理得(a?b?c)(x2?x?1)?0．0013因為x2?x?1?(x?)2??0，所以a?b?c?0．00024于是a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3????bccaababcabc?3ab(a?b)??3．
5、abc故選（D）．5．方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)是（）．（A）0（B）1（C）3（D）無窮多答：（A）．解：原方程可化為x(x?1)(x?2)?（3x2?x）?y(y?1)(y?1)?2，因為三個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的．所以，原方程無整數(shù)解．故選(A).二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6．如圖，在直角三角形ABC中，?ACB?90?，CA＝4．點P是半圓弧AC的中點，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差
6、的絕對值是．答：4．解：如圖，設AC與BP相交于點D，點D關于圓心O的對稱點記為點E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的絕對值是△BEP的面積，即△BOP面積的兩倍．而11S?PO?CO??2?2?2．?BPO22（第6題答案圖）因此，這兩部分面積之差的絕對值是4．337．如圖,點A，C都在函數(shù)y?(x?0)的圖象上，點B，D都在x軸上，x且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為．答：（26，0）．解：如圖，分別過點A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．設OE＝a，BF＝b，則AE＝3a，CF＝3b，
7、所以，點A，C的坐標為（第7題答案圖）（a，3a），（2a＋b，3b），??3a2?33,所以???3b(2a?b)?33,解得??a?3,???b?6?3,因此，點D的坐標為（26，0）．8．已知點A，B的坐標分別為（1，0），（2，0）．若二次函數(shù)y?x2??a?3?x?3的圖象與線段AB恰有一個交點，則a的取值范圍是．1答：?1≤a??，或者a?3?23．2解：分兩種情況：（Ⅰ）因為二次函數(shù)y?x2??a?3?x?3的圖象與線段AB只有一個交點，且點A，B的坐標分別為（1，0），（2，0），所以????12?(a?3)?1?3
8、?22?(a?3)?2?3?0，1得?1?a??．2由12?(a?3)?1?3?0，得a??1，此時x?1，x?3，符合題意；1213由22?(a?3)?2?3?0，得a??，此時x?2，x?，不符合題意．2122（Ⅱ）令x2??a?
