數(shù)列的函數(shù)特征課件（北師大版必修五）.ppt

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1、（一）1.了解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念.(重點(diǎn))2.掌握判斷數(shù)列增減性的方法.(重點(diǎn))3.利用數(shù)列的增減性求最大項(xiàng)、最小項(xiàng).(難點(diǎn))從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一種特殊函數(shù),其定義域是正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3，…,n}),值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)的對(duì)應(yīng)值.00000000如果數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n),能否利用函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性判斷數(shù)列的增減性?提示：不能,因?yàn)閿?shù)列an=f(n)是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù),它的圖像是一系列孤立的點(diǎn),而函數(shù)y=f(x)的圖像不一定是一系列孤立的點(diǎn),可能是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn).(二)

2、確定數(shù)列的增減性確定數(shù)列的增減性的方法判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,關(guān)鍵是比較相鄰兩項(xiàng)an+1與an的大小,常見(jiàn)的比較方法有兩種：一是作差比較法.(1)an+1-an>0?an+1>an?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)an+1-an<0?an+1

3、調(diào)性.【審題指導(dǎo)】解決本題的關(guān)鍵是正確采取比較的方式，比較an+1與an的大小，也可用函數(shù)的觀點(diǎn)判斷.【規(guī)范解答】方法一：根據(jù)題意可知?jiǎng)tan+1-an=(n+1)2-8(n+1)-(n2-8n)由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，當(dāng)00，數(shù)列是遞增數(shù)列.方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-8n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2-8x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：對(duì)稱(chēng)軸是x=8，所以當(dāng)0

4、解析】方法一：根據(jù)題意可知an=n2+5n，則an+1-an=(n+1)2+5(n+1)-(n2+5n)=2n+6,由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，an+1-an>0，所以數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2+5n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2+5x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，對(duì)稱(chēng)軸是，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.【誤區(qū)警示】在利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷.例2已知數(shù)列{}滿(mǎn)足條件：，寫(xiě)出它的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

5、式。由遞推公式求通項(xiàng)公式思路點(diǎn)撥：依次帶入n=1,2,3,4,5即可【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0

6、方法一：an＋1－an＝(n＋1)－＝＝所以，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.方法二：∵又∵an<0，∴an＋1>an，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.【互動(dòng)探究】若把題目中的函數(shù)改為f(x)=2x-2-x，數(shù)列{an}滿(mǎn)足f(log2an)=-2n(n∈N+).其他不變，你會(huì)求解嗎？【解題提示】仿照例題通過(guò)f(log2an)=-2n求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后作差或者作商證明單調(diào)性.【解析】(1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,∴∴∵an＞0,∴(2)方法一：又∵an＞0,∴an+1＜an,∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.方法二：an+1-an即an+1

7、-an＜0，∴an+1＜an.∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)方法：數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系.因此，涉及數(shù)列性質(zhì)如單調(diào)性、最值問(wèn)題等均可仿照求函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題的方法來(lái)研究，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的方法有兩種：數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用方法一：利用判斷函數(shù)增減性的方法,先判斷數(shù)列的增減情況,再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).方法二：設(shè)an是最大項(xiàng),則有對(duì)任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式組即可.在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，特別是比較大小時(shí)，一定要注意到函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這一約束條件.【例3】在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)()n(n∈N

8、+).(1