數(shù)列的函數(shù)特征.ppt

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1、豐城九中高一數(shù)學(xué)組從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一種特殊函數(shù),其定義域是正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3，…,n}),值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)的對(duì)應(yīng)值.00000000確定數(shù)列的增減性確定數(shù)列的增減性的方法判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,關(guān)鍵是比較相鄰兩項(xiàng)an+1與an的大小,常見(jiàn)的比較方法有兩種：一是作差比較法.(1)an+1-an>0?an+1>an?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)an+1-an<0?an+1

2、比作差法更簡(jiǎn)便一些.an＞0遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列an＜0遞減數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列在利用作商比較法時(shí)，要確保數(shù)列的每一項(xiàng)都不是零，再確認(rèn)相鄰兩項(xiàng)的正負(fù)，然后進(jìn)行比較.【例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-8n，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.【審題指導(dǎo)】解決本題的關(guān)鍵是正確采取比較的方式，比較an+1與an的大小，也可用函數(shù)的觀點(diǎn)判斷.【規(guī)范解答】方法一：根據(jù)題意可知?jiǎng)tan+1-an=(n+1)2-8(n+1)-(n2-8n)由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，當(dāng)00，數(shù)列是遞增數(shù)列.方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an

3、=n2-8n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2-8x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：對(duì)稱(chēng)軸是x=8，所以當(dāng)00，所以數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2+5n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2+5x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，對(duì)稱(chēng)軸是，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.【誤區(qū)警示】在利用函數(shù)

4、的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系可知：數(shù)列的通項(xiàng)an與n的關(guān)系公式就是函數(shù)f(x)的解析式,所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是重要途徑.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0

5、與零的大小或者作商判斷與1的大小，從而判斷數(shù)列的單調(diào)性.【規(guī)范解答】(1)f()＝log2-log2=an－，所以an－＝2n?－2nan－1＝0，所以an＝.因?yàn)閤∈(0,1)，所以∈(0,1)，所以an<0.所以an＝.(2)方法一：an＋1－an＝(n＋1)－＝＝所以，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.方法二：∵又∵an<0，∴an＋1>an，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.【互動(dòng)探究】若把題目中的函數(shù)改為f(x)=2x-2-x，數(shù)列{an}滿(mǎn)足f(log2an)=-2n(n∈N+).其他不變，你會(huì)求解嗎？【解題提示】仿照例題通過(guò)f(log2an)=-2n求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后作差或者

6、作商證明單調(diào)性.【解析】(1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,∴∴∵an＞0,∴(2)方法一：又∵an＞0,∴an+1＜an,∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.方法二：an+1-an即an+1-an＜0，∴an+1＜an.∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.【典例】(12分)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝30＋n－n2.(1)問(wèn)－60是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？(2)當(dāng)n分別為何值時(shí)，an＝0，an>0，an<0；(3)當(dāng)n為何值時(shí)，an有最大值，并求出最大值.【審題指導(dǎo)】本題的解決關(guān)鍵是用函數(shù)的觀點(diǎn)思考解決數(shù)列問(wèn)題，三問(wèn)逐步深入遞進(jìn)，首先第一問(wèn)判斷是否是數(shù)列的項(xiàng)，代入驗(yàn)證判斷求出的n是否為正

7、整數(shù)即可，第二問(wèn)和第三問(wèn)，結(jié)合二次函數(shù)進(jìn)行判斷求解.【規(guī)范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分∴－60是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，即a10＝－60.…………4分(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.∴n＝6或n＝－5(舍)，即當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0.…………6分結(jié)合數(shù)列{an}的圖像可知當(dāng)n等于1,2,3,4,5時(shí)，an>0.當(dāng)n>6且n∈N+時(shí)，