實變函數(shù)習(xí)題解答(1)

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1、第一章習(xí)題解答1、證明A(BC)＝(AB)(AC)證明：設(shè)xA(BC)，則xA或x(BC)，若xA，則xAB，且xAC，從而x(AB)(AC)。若xBC，則xB且xC，于是xAB且xAC，從而x(AB)(AC)，因此A(BC)(AB)(AC)……………(1)設(shè)x(AB)(AC)，若xA，則xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC)A(BC)……………(2)由(1)、(2)得，A(BC)＝(AB)(AC)。2、證明①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B②A(B－C)＝(AB)－(AC)

2、③(A－B)－C＝A－(BC)④A－(B－C)＝(A－B)(AC)84⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AB證明：①A－(AB)＝AC(AB)＝A(CACB)＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)＝(ACB)＝A－B②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A(B－C)③(A－B)－C＝(ACB)CC＝AC(BC)＝A－(BC)④A－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)＝(ACB)(AC)＝(A

3、－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AC(ACB)＝A(CAB)＝(ACA)(AB)＝(AB)＝AB3、證明：(AB)－C＝(A－C)(B－C)85A－(BC)＝(A－B)(A－C)證明：(AB)－C＝(AB)CC＝(ACC)(BCC)＝(A－C)(B－C)(A－B)(A－C)＝(ACB)(ACC)＝(AA)(CBCC)＝AC(BC)＝A－(BC)4、證明：()＝證明：設(shè)()，則，于是，、，從而，所以，，所以，()。86設(shè)，則、，即，于是，

4、，即()，所以()，由以上兩步得()=5、證明：①()－B＝(－B)②()－B＝(－B)證明：①()－B＝()CB＝(CB)＝(－B)②()－B＝()CB=(CB)＝(－B)876、設(shè){}是一列集合，作=，=-()>1。證明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，…。證明：設(shè)≠，不妨設(shè)<，因為，[-()]=[(C)]=[C(C)]=(C)(C)=()=∴=，{}互不相交?！?，∴=。88另一方面，設(shè)，則存在最小的自然數(shù)，使，，∴-=，∴∴=。7、設(shè)=(0，)，=(0，)，=1，2，…，求出集列{}的上限集和下限集。解：?！?(0，)，=(0

5、，)，∴。=()==(0，)=(0，∞)==(0，∞)=(0，∞)=()=89=(0，)=∴===。8、證明：=證明：，≥，有，，∴=。9、作出一個(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1對應(yīng)，并寫出這一對應(yīng)的解析表達式。解：y=tg，(－1，1)，y(－∞，＋∞)。10、證明將球面去掉一點以后，余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對等的。90證明：用P表示在球面上挖去的那一點，P與球心O的連線交球面于M，過M作球面的切平面，過P點和球面上任一點引直線，該直線與平面交于，將與對應(yīng)，P與M對應(yīng)，則球面上的點與整個平面上的點用上述方法構(gòu)成

6、一個一一對應(yīng)，由對等的定義，挖去一點的球面與平面是對等的。11、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。證明：由有理數(shù)的稠密性知，在每一區(qū)間中至少含有一個有理數(shù)，在每一開區(qū)間中任取一有理數(shù)與該區(qū)間對應(yīng)，由于開區(qū)間互不相交，故不同開區(qū)間對應(yīng)不同的有理數(shù)，但有理數(shù)全體為一可數(shù)集，其子集至多是可數(shù)集，所以直線上互不相交的開區(qū)間作成的集至多是可數(shù)集。12、證明所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可數(shù)集。證明：以表示這個集合，表示次有理系數(shù)多項式的全體，則=。91由+1個獨立記號，即次多項式的＋1個有理系數(shù)所決定，其中首項系數(shù)為異于0

7、的有理數(shù)，其余系數(shù)可取一切有理數(shù)，因此，每個記號獨立地跑遍一個可數(shù)集，所以，是可數(shù)集，也是可數(shù)集。13、設(shè)A是平面上以有理點（坐標(biāo)為有理數(shù)的點）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集。證明：A中任一元素由三個獨立記號（a，b，r）所決定，其中（a，b）是圓心的坐標(biāo)，r是圓的半徑，a、b各自跑遍全體有理數(shù)，r跑遍大于0的有理數(shù)，而且它們都是可數(shù)集，故A是可數(shù)集。14、證明單調(diào)增加函數(shù)的不連續(xù)點最多只有可數(shù)多個。證明：設(shè)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)增加函數(shù)，其不連續(xù)點的全體記為E，設(shè)E，由數(shù)學(xué)分析知，必為第一類不連續(xù)點，即其左、右極限、必存在

8、，且<，這樣，每個不連續(xù)點對應(yīng)一個開區(qū)間(，)，且這些開區(qū)間互不相交。由11題知，這些開區(qū)間最多有可數(shù)多個，所以，E最多是一個可數(shù)集。