第4章隨機變量的數(shù)字特征、極限定理ppt課件.ppt

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1、第四章隨機變量的數(shù)字特征、極限定理數(shù)學期望方差幾種重要分布的數(shù)學期望與方差協(xié)方差和相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣大數(shù)定律中心極限定理4.1數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望例4.1甲、乙兩射手進行射擊訓練，已知在100次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：環(huán)數(shù)8910次數(shù)301060環(huán)數(shù)8910次數(shù)205030甲乙試問如何評定甲、乙射手的技術優(yōu)劣？甲平均射中的環(huán)數(shù)為：乙平均射中的環(huán)數(shù)為：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(環(huán))(8×20+9×50+10×3

2、0)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(環(huán))因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術優(yōu)于乙。上述平均環(huán)數(shù)的計算可表示為我們稱之為隨機變量X的數(shù)學期望，或均值。數(shù)學期望——描述隨機變量取值的平均特征定義4.1設X是離散型隨機變量，其分布律為X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，如果級數(shù)絕對收斂，并稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記作則稱X的數(shù)學期望存在，E(X)，即則稱隨機變量X的數(shù)學期望不存在。注意：隨機變量X的數(shù)學期望E(X)完全是由X的分布律確定的，而不應受X的可能取值的

3、排列次序的影響，因此要求級數(shù)絕對收斂。若級數(shù)不絕對收斂，例如，設離散型隨機變量X的分布律為X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16則X的數(shù)學期望為例4.2擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點數(shù)，求X的數(shù)學期望。解X的分布律為X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.3從一個裝有m個白球和n個紅球的袋中取球，直到取到白球為止。若每次取出的球仍放回袋中，試求取出紅球的數(shù)學期望。解設取出的紅球數(shù)為X，則X的分布律為k=0,1,2,…其中例4.4設X取(k=0,1,2,

4、…)對應的概率為，證明E(X)不存在。證明且但級數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級數(shù)(交錯級數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂)要注意數(shù)學期望的條件：“絕對收斂”。定義4.2設X是連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為f(x),二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望若積分絕對收斂，則稱X的數(shù)學期望存在，且稱積分為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)即數(shù)學期望簡稱期望或均值。例4.5設有5個相互獨立的元件，其壽命服從參數(shù)為θ>0的指數(shù)分布，其概率密度為(1)若將5個元件組成一個串聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；(2)若將5個元件

5、組成一個并聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；解(1)設Xk表示第k個元件的壽命，k=1,2,3,4,5，則X1,X2,X3,X4,X5相互獨立，且Xk~f(x)，同分布。記Y為串聯(lián)系統(tǒng)的壽命，則Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學期望為(2)記Z為并聯(lián)系統(tǒng)的壽命，則Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z的分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學期望為從本例可知：同樣5個組件，并聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命是串聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命11.4倍。例4.6設隨機變量X服從(-∞

6、E(X)。此分布稱為Cauchy分布。解此廣義積分發(fā)散，因此數(shù)學期望E(X)不存在。注意這里三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望定理4.1設隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù)，Y=g(X)(g(?)為連續(xù)函數(shù))(1)設X為離散型隨機變量，其分布律為P(X=xi)=pi,i=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則Y的數(shù)學期望存在，且(2)設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，若積分絕對收斂，則Y的數(shù)學期望存在，且此定理說明，在求隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)的期望時，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推廣：設(X,

7、Y)是二維隨機變量，Z=g(X,Y)，g(?,?)是連續(xù)函數(shù)。(1)設(X,Y)是離散型隨機變量，分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…則當絕對收斂時，Z的數(shù)學期望存在，且(2)設(X,Y)是連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x,y)，則當絕對收斂時，Z的數(shù)學期望存在，且例4.7設隨機變量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律為其中p+q=1例4.8設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度設Z=XY，試求Z的數(shù)學期望。解O1xy1y=x例4.9設國際市場上每年對我國某

8、種出口商品的需求量是隨機變量X(單位噸)，它服從[2000,4000]上的均勻分布。若售出這種商品1噸，可賺3萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉儲費1萬元，問該商品應出口多少噸才可使平均收益最大？解由題意可知X的密度函數(shù)為設每年出口該商品y噸，(2000≤y≤4000)，則收益可知y=3500時，E(Y)取到最大值，故出口3500噸此商品才可使平均收益最大。1、設C是常數(shù)，則E(C)=C;證將C看成是離散型隨機變量，分布律P(X=C)=1，則E(C)=C2、設設C是常數(shù)，X為隨機變