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《第7章量子力學(xué)中的力學(xué)量ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第七章 量子力學(xué)中的力學(xué)量經(jīng)典粒子：可用坐標(biāo)和動量來描寫狀態(tài)，任何狀態(tài)下，力學(xué)量都有確定值。微觀粒子：坐標(biāo)和動量不能同時有確定值，所以狀態(tài)用波函數(shù)表示，力學(xué)量用算符表示。§7.1表示力學(xué)量的算符一、算符１、算符是指作用在一函數(shù)上得出另一函數(shù)的運算符號。２、算符的本征值方程３、算符的例子<1>動量算符：分量式：動量算符 表示動量這個力學(xué)量。<2>坐標(biāo)算符：<3>哈密頓算符：經(jīng)典的哈密頓函數(shù)： ，將代入 中得：<4>量子力學(xué)中力學(xué)量用算符表示的規(guī)則：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量 在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則算符 由經(jīng)典
2、表示式 中將 換為算符 而得出：例如，角動量算符：量子力學(xué)中的角動量算符：二、力學(xué)量用厄米算符表示(Hermitoperator)１、當(dāng)體系處于定態(tài)，即哈密頓算符 的本征態(tài) 時，能量有確定值 ， 即本征值。當(dāng)體系處于動量算符的本征態(tài) 時，動量有確定值，這個值即 在 態(tài)中的本征值。２、算符 表示力學(xué)量 ，當(dāng)體系處于 的本征態(tài)時，力學(xué)量有確定值，這個值即 在 態(tài)中的本征值。因為所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)，而表示力學(xué)量的算符的本征值就是測量此力學(xué)量的可能值，所以，表示力學(xué)量算符的本征值必須為實數(shù)。什么類型的算符，本征值為實數(shù)？３
3、、厄米算符量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符。定義：若則 稱為厄米算符。式中 代表所有變量，積分范圍為所有變量變化的整個區(qū)域。４、證明厄米算符的本征值是實數(shù)。證：驗證：坐標(biāo)算符和動量算符是厄米算符。坐標(biāo)值 為實數(shù)，對動量算符的一個分量 ，有分部積分一、動量算符１、動量算符的本征值方程是動量算符的本征值， 是屬于此本征值的本征函數(shù)。分量式：§7.2 動量算符和角動量算符它們的解是本征值 可取所有實數(shù)，構(gòu)成連續(xù)譜。２、動量本征函數(shù)的歸一化求歸一化常數(shù)?。坑嬎惴e分：如果取 ，則動量本征函數(shù)歸一化到 函數(shù)
4、。即其中為什么 不能歸一化為1，而是歸一化為 函數(shù)：這是由于動量本征值可以取連續(xù)值， 的各分量可取任意實數(shù)，動量本征值構(gòu)成連續(xù)譜。３、動量本征值的分立化：箱歸一化設(shè)想將粒子限制在一個邊長為L的正方形箱中，取箱中心為坐標(biāo)原點。引入周期性邊界條件：要求波函數(shù)在兩各相對的箱壁上的對應(yīng)點有同值，即或這樣 只能取分立值：同理，根據(jù)周期性條件 和可得到相鄰兩個分立值的差：當(dāng) 時：分立值→連續(xù)譜。引入周期性邊界條件后，動量本征函數(shù)可以歸一化為１，歸一化常數(shù) ，即證：這種將粒子限制在三維箱中，再加上周期性邊界
5、條件歸一化方法，稱為箱歸一化。４、單色平面波是具有確定能量和動量的粒子的波函數(shù)，它是動量算符的本征態(tài)。測量粒子的動量 ，有確定值 ，即動量算符的本征值。二、角動量算符１、定義：角動量算符分量式為２、角動量平方算符：利用直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)變量之間的關(guān)系可得這樣３、角動量 分量算符?。夯颍?、角動量平方算符的本征值方程：（17）（14’）§7.3厄密算符本征函數(shù)的正交性一、屬于動量算符不同本征值得兩個本征函數(shù)和互相正交：引入函數(shù)的標(biāo)積：則(1),(2)兩式可以簡化記為：當(dāng)動量算符是厄密算符，量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符，它
6、們的本征值是實數(shù)。以上正交性僅是厄密算符本征函數(shù)正交性的一個特例二、定理：屬于厄密算符不同本征值的兩個本征函數(shù)互相正交。證：又（厄密的本征值為實數(shù)）（1）式右乘，積分：簡記：（2）式左乘：簡記：根據(jù)厄密算符的定義簡記：聯(lián)立（4）、（5）即： 簡記：(6)式移項：簡寫：而，必有簡寫：或表示為：(6)其中符號如果的本征值不分立，而是構(gòu)成連續(xù)譜。則本征函數(shù)可以歸化為函數(shù)：例如動量算符本征函數(shù)2.正交歸一本征函數(shù)一例：無限深勢阱能量本征函數(shù)（9）是體系屬于的能量算符的本征值的本征函數(shù)，對不同的值（能級)正交：其中：證：積化和差3
7、.是的本征值的本征函數(shù)的正交性三、正交歸一函數(shù)的例子（厄密算符本征函數(shù)互相正交）1）線性諧振子2.角動量算符的本征函數(shù)，本征值3.角動量平方算符的本征函數(shù)，屬于本征值：2）一維勢阱締結(jié)legendre函數(shù)正交性：而球諧函數(shù)：4.氫原子波函數(shù)，算符：n不同:三個量子數(shù)均不同：四、簡并態(tài)函數(shù)的正交性當(dāng)?shù)谋菊髦凳嵌群啿ⅲ阂话愣圆徽?，但可用個常數(shù)將個函數(shù)重新組合成個新函數(shù)：總可以選擇而使正交歸一條件成立：一般地，考慮到力學(xué)完全集中其它算符對簡并態(tài)重新分類，可組合消除簡并。如對簡并，但對則不簡并，歸一化為?！?.4算符與力學(xué)量的關(guān)
8、系根據(jù)數(shù)學(xué)物理方法中的證明，如果有一族函數(shù)構(gòu)成正交歸一完全系，則任意函數(shù)都可以用來展開為級數(shù)（廣義傅里葉級數(shù)）。如果函數(shù)系不構(gòu)成分立的集合，則可以展開為傅里葉積分。如果函數(shù)系和都是正交歸一完全系。一、波函數(shù)按厄密算符的本征函數(shù)系展開1.分立譜如果是滿足一定條件的厄密算符，它的正交歸一本征函
