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《量子力學(xué)第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量(ObservablesinQuantumMechanics)力學(xué)量—表示一個(gè)體系力學(xué)性質(zhì)的量。微觀體系的力學(xué)量與經(jīng)典系統(tǒng)的力學(xué)量有著重要的區(qū)別的：經(jīng)典力學(xué)體系中假定力學(xué)量都是可以連續(xù)變化的，任何兩個(gè)力學(xué)量（如：）可同時(shí)具有確定值，即存在軌道的概念；正是由于這種差別的存在，在量子力學(xué)中引入算符來表示微觀粒子的力學(xué)量。微觀體系的一些量卻往往只取分立值（如勢阱中粒子的能量，線性諧振子的能量，原子的能量及角動(dòng)量等），也有些量根本不可能同時(shí)具有確定值（如：；）。微觀體系的這些特點(diǎn)源于它的波動(dòng)性（無確定軌道問題）?！?
2、.1表示力學(xué)量的算符§3.2動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符§3.3電子在庫侖場中的運(yùn)動(dòng)§3.4氫原子§3.5厄米算符本征函數(shù)正交性§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系§3.7算符對易關(guān)系，兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件，測不準(zhǔn)關(guān)系§3.8力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化，守恒定律§3.1表示力學(xué)量的算符（operator）一、算符的一般性質(zhì)算符：作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號，量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)上的運(yùn)算符號，記為。例如：中的“”；中的“”（作用是乘）；中的“”（求導(dǎo)）；中的“”（作用是積分）。其中是的函數(shù)。如，還有要講的角動(dòng)量算符等…。一般，
3、作用在它右邊的函數(shù)上，原來的函數(shù)變?yōu)樾潞瘮?shù)。在量子力學(xué)中，大部分算符采用如下形式：2.算符的相等若對任意的函數(shù)，有,我們稱與相等，記為：。1.單位算符作用到任意的函數(shù)上，不變，記為：3.算符的相加若對任意的函數(shù)，有，則稱算符為與之和。記為：。例：若，，有：即：。算符之和滿足交換律：。滿足結(jié)合律：。4.算符相乘若對任意的函數(shù)，有，則稱算符為與之積。記為（注意：不一定等于，稱為算符與不對易，表明與作用到任意函數(shù)上，一般來說，結(jié)果與、作用的次序有關(guān)）。對于某些算符，，為任意的函數(shù)，則稱與對易。如一個(gè)算符相繼作用在上n次，則可用表示，即：，
4、。即有，即和可以交換順序，均為正整數(shù)。5.逆算符：如果存在，則稱與互為逆算符，記，，且有。即與對易。并且有性質(zhì)：。6.算符的復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置和厄米共軛（1）算符的復(fù)共軛算符，由表示中復(fù)量換成共軛復(fù)量構(gòu)成。例如在坐標(biāo)表象中，動(dòng)量算符的復(fù)共軛算符為：。（2）算符的轉(zhuǎn)置算符對于任意的函數(shù)，有：定義式（i）（ii）（iii）（3）算符的厄米共軛算符對于任意的函數(shù)，有：定義式7.線性算符如：是線性算符，而“”和“乘方”為非線性算符。<1>定義：若對任意的函數(shù)，其中為任意復(fù)常數(shù)，則稱算符為線性算符。<2>線性算符之和仍是線性算符即線性算符關(guān)于加法是
5、閉合的。<3>線性算符之積仍是線性算符即線性算符關(guān)于乘法是閉合的。8.算符的函數(shù)量子力學(xué)中算符的函數(shù)可由冪級數(shù)定義得：例如：。<1>若對某函數(shù)，有，其中是數(shù)量，則稱為的本征值（固有值），是的屬于本征值的本征函數(shù)。上式稱為算符的本征值方程（如：）。方程的解除了決定于的具體形式以外，還決定于滿足的條件，可取分立值，用表示，也可取連續(xù)值。9.算符的本征值與本征函數(shù)<1>若對某函數(shù)，有，其中是數(shù)量，則稱為的本征值（固有值），是的屬于本征值的本征函數(shù)。上式稱為算符的本征值方程（如：）。方程的解除了決定于的具體形式以外，還決定于滿足的條件，可取
6、分立值，用表示，也可取連續(xù)值。<2>如對應(yīng)一個(gè)只有一個(gè)，則為非簡并（如線性諧振子的能量本征值）；如對應(yīng)一個(gè)有n個(gè)本征函數(shù)，即，并且它們是線性獨(dú)立的，則為n度簡并。例如：一維自由粒子的能量本征值為2度簡并。<3>如有共同的本征函數(shù)，則和算符的本征值是算符本征值之和；積算符的本征值是算符本征值之積，即：10.厄米算符<1>定義：對任意二函數(shù)，若滿足下式：（一、二和三維都適用）則稱為厄米算符。其中“”表示取復(fù)數(shù)共軛；是的定義。或例：和是厄米的，而不是厄米的。(1)（因?yàn)槭菍?shí)數(shù)）(3)解法同上，有：(2)假設(shè)和是在時(shí)等于零的束縛態(tài)。<2>厄
7、米算符的本征值為實(shí)數(shù)（定理內(nèi)容）證明：若是的屬于本征值的本征函數(shù)，即，則由厄米算符的定義，且令，則有：①＝②，于是為實(shí)數(shù)。所以厄米算符又叫實(shí)算符。②①<3>厄米算符之和仍是厄米算符證明：<4>厄米算符之積不一定是厄米算符要看二者是否可以交換順序注意：算符是作用在波函數(shù)上的，否則可能出錯(cuò)。證明：二、量子力學(xué)中用線性厄米算符表示力學(xué)量1.兩個(gè)假定：假定1：量子力學(xué)中的每個(gè)力學(xué)量都用一個(gè)線性厄米算符表示。假定2：當(dāng)體系處于任意狀態(tài)下，算符的本征值集合即是測量體系的力學(xué)量的可能值；當(dāng)體系處于的屬于的本征態(tài)時(shí)，測量力學(xué)量，得到確定值。2.量子
8、力學(xué)中的力學(xué)量為什么用線性厄米算符表示<1>為什么用算符表示力學(xué)量？(a)因?yàn)樵诓ê瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件下求解算符的本征值，能得到與實(shí)驗(yàn)符合的本征值，且多是分立的，如線性諧振子的能量本征值。(b)用算符表示力學(xué)量還可以反映某二力學(xué)量不能同時(shí)具
