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1、第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量TheDynamicalvariableinQuantumMechanism1引言經(jīng)典力學(xué)中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)總用坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、自旋、動(dòng)能、勢(shì)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能等力學(xué)量以決定論的方式描述。而量子力學(xué)的第一個(gè)驚人之舉就是引入了波函數(shù)這樣一個(gè)基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但并不能作為量子力學(xué)中的力學(xué)量。于是，又引入了一個(gè)重要的基本概念——算符，用它表示量子力學(xué)中的力學(xué)量。算符與波函數(shù)作為量子力學(xué)的核心概念相輔相成、貫穿始終。這部分是量子力學(xué)的重要基礎(chǔ)理論之一，也是我們學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。2
2、3.1表示力學(xué)量的算符operatorfordynamicalvariable3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氫原子Hydrogenatom3.5厄米算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系RelationshipbetweenOpera
3、toranddynamicalvariable3.7算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8力學(xué)量隨時(shí)間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws講授內(nèi)容3學(xué)習(xí)內(nèi)容1．坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符的表示形式及它們間的對(duì)易關(guān)系；2．角動(dòng)量算符的表示形式及相關(guān)的對(duì)易關(guān)系；3．動(dòng)量算符本征函數(shù)的兩種歸一化：箱歸一化和函數(shù)歸一化；4．角動(dòng)量算符的共
4、同本征函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的本征值；5．正點(diǎn)電荷庫(kù)倉(cāng)場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程及其求解的基本步驟；定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)形式；束縛態(tài)的能級(jí)及其簡(jiǎn)并度；氫原子的能級(jí)、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率分布；電離能和里德伯常數(shù)；6．量子力學(xué)的力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系；厄米算符的本征函數(shù)組成正交完備集；7．在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；8．不確定關(guān)系及其應(yīng)用；9．守恒量的判斷方法。4重點(diǎn)掌握內(nèi)容一個(gè)基本概念：厄米算符（作用及其基本性質(zhì)）；兩個(gè)假設(shè)：力學(xué)量用厄米算符表示；狀態(tài)用
5、厄米算符本征態(tài)表示，力學(xué)量算符的本征值為力學(xué)量的可測(cè)值三個(gè)力學(xué)量計(jì)算值：確定值、可能值、平均值；四個(gè)力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值：坐標(biāo)算符，動(dòng)量算符，角動(dòng)量算符及能量算符（哈密頓算符）及它們的本征值。一個(gè)關(guān)系：力學(xué)量算符間的對(duì)易關(guān)系（特別是坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，角動(dòng)量算符對(duì)易關(guān)系）三個(gè)定理:共同本征態(tài)定理（包括逆定理）不確定關(guān)系力學(xué)量守恒定理5由前面的討論，我們看到，當(dāng)微觀粒子處在某一狀態(tài)時(shí)，一般而言，其力學(xué)量（如坐標(biāo)、動(dòng)量和能量等）不一定具有確定的值，而以一定幾率分布取一系列可能值（當(dāng)然，可能在某些特殊的狀態(tài)，有
6、些力學(xué)可取確定值）。若知道粒子在動(dòng)量表象中的波函數(shù)，同理可求出粒子動(dòng)量PxPyPz或的平均值。3.1表示力學(xué)量的算符1.坐標(biāo)與動(dòng)量的平均值及坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的引入若已知粒子在坐標(biāo)表象中的狀態(tài)波函數(shù)，按照波函統(tǒng)計(jì)解釋，利用統(tǒng)計(jì)平均方法，可求得粒子坐標(biāo)或的平均值6（1）坐標(biāo)平均值設(shè)粒子的狀態(tài)波函數(shù)為或粒子的位置處在：間的幾率為3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)1）坐標(biāo)平均值7利用計(jì)算出坐標(biāo)的平均值稱為坐標(biāo)算符Prove：3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)2）對(duì)此作一次分部積分83.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)3）9（2）動(dòng)量平均值粒子的動(dòng)量值處
7、于間的幾率為:利用坐標(biāo)為變量的波函數(shù)計(jì)算動(dòng)量平均值其中─坐標(biāo)算符3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)4）動(dòng)量平均值10Prove:─動(dòng)量算符3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)5）11─動(dòng)量算符其中3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)6）12結(jié)論由波函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值時(shí)，坐標(biāo)與動(dòng)量均要用相應(yīng)的算符代入積分式。利用坐標(biāo)為變量的波函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)平均值時(shí)，坐標(biāo)算符，就是坐標(biāo)本身；利用動(dòng)量為變量的波函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)平均值時(shí)，坐標(biāo)算符為利用坐標(biāo)為變量的波函數(shù)計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，動(dòng)量算符；利用動(dòng)量為變量的波函數(shù)計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，動(dòng)量算符就是動(dòng)量本身3.1表示力學(xué)
8、量的算符（續(xù)7）13對(duì)一函數(shù)作用得到另一函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)Ex.2．表示力學(xué)量的算符及其與力學(xué)量測(cè)量值的關(guān)系（1）算符的定義稱為算符(2）算符的本征方程算符作用在函數(shù)上，等于一常數(shù)乘以3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)8）即此稱為算符的本征方程算符的基本性質(zhì)參見教材p46-4914稱為其本征值，為其本征函數(shù)。(3）力學(xué)量算符表示
