附錄 最小方差套期保值比率.doc

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1、附錄：最小方差套期保值比率（對沖率）可以通過股票指數(shù)期貨演示如何得到對沖現(xiàn)貨頭寸的最優(yōu)期貨合約數(shù)量。假設(shè)A持有充分分散化的股票組合現(xiàn)貨頭寸，并且完全模擬市場指數(shù)（如S&P500），但是擔(dān)心價格下跌，希望使用期貨合約對持有的頭寸對沖。已知：S=S&P500指數(shù)現(xiàn)價TVS0=初始持有現(xiàn)貨總值（就是150萬美元）F=期貨價格（S&P500指數(shù)期貨）FVF0=一份期貨合約的賬面價值NS,0=現(xiàn)貨持有的指數(shù)單位數(shù)量Nf=持有的期貨合約數(shù)量S0=1500F0=1530.3“合約乘數(shù)”或者S&P500指數(shù)每點價值z

2、=250美元。因此FVF0=F0z（A3.1）如果現(xiàn)貨頭寸是TVS0美元，投資者初始持有NS,0單位指數(shù)，則NS,0=TVS0/S0=/1500=1000單位指數(shù)（A3.2）t=0時，對沖者在現(xiàn)貨市場上為多頭，因此在期貨市場上空頭賣出Nf份合約。在t=1時刻，結(jié)清持有的頭寸，對沖的組合價值變化如下：對沖組合的方差是其中，是S的變化的方差。對公式（A3.4）的Nf微分，并使之為零（來得到最小值），也就是，得到最優(yōu)值：代替公式（A3.2）中的，得到最小方差對沖率其中，“beta”為現(xiàn)貨資產(chǎn)絕對變化量△S對

3、期貨價格絕對變化量△F回歸得到的回歸系數(shù)：如果投資者手中持有的股票組合精確地反映了S&P500的組成，beta值就會與之一致，于是期貨合約中持有的指數(shù)單位數(shù)量是，與現(xiàn)貨市場中持有的指數(shù)單位數(shù)量相同。注意，最優(yōu)值的分母是，而不是。但是，下面我們可以看到，如果我們采用更為普通的證券組合beta的定義，以百分比變動來描述的話，就可以合理地以來改寫。注意，在一些對沖率的說明中，有如下定義，因此公式（A3.3）變?yōu)?，方差根?jù)h最小化。這樣給出的最小對沖率答案自然與前面得到的相同。其他一些公式最小方差對沖率是相關(guān)

4、系數(shù)。如果，對沖不能降低風(fēng)險。如果，標(biāo)的股票組合完全模擬S&P500，那么“簡單”對沖率是最優(yōu)解（對沖率也通常給出合理的對沖率）。根據(jù)公式（A3.1），容易得出，這樣，我們就可以使最小方差對沖率的公式（A3.7）中出現(xiàn)“期貨合約的賬面價值”:如果接近于1，利用可以得到與實際最優(yōu)值相似的結(jié)果。例如，對于支付紅利的股票，，非常接近于1。股票組合假設(shè)我們持有的股票組合可以充分分散化，但是構(gòu)成卻沒有精確地反映“市場指數(shù)”，如S&P500。盡管前面公式中的使用絕對變化量，但證券組合的報酬率通常以變化的比例（或百

5、分比）表示?，F(xiàn)在來修正這一點，假設(shè)A的標(biāo)的股票組合沒有模擬S&P500指數(shù)，但是預(yù)期（比例）回報率與“市場指數(shù)”回報率相關(guān)，這里的指數(shù)仍然為S&P500。單指數(shù)模型給出其中，為隨機(jī)誤差，描繪股票組合的非系統(tǒng)組合。從前文的回歸中估計股票組合的。如果忽略紅利支付，那么，S是A持有的證券組合的股票價格。需要補(bǔ)充的是，如果假設(shè)S&P500期貨價格和S&P500指數(shù)變化情況大致相同（由于指數(shù)套利的可能性），那么因此但是由于和已知（在t=0）：并且因此將公式（A3.17）帶入公式（A3.12）中，最小方差對沖率可

6、以被表示成：“組合beta”與的形式：這個表達(dá)式的優(yōu)點是可以使用基于beta資料庫中的“證券組合beta值”（是持有的股票中每種股票所占的比例）。公式（A3.12）與公式（A3.18）的主要差別是是由股票組合回報率與市場組合回報率（也是非常好的的代理變量）回歸得到的，而公式（A3.12）是建立在絕對變化量△S與△F的回歸上。注意公式（A3.13），如果不認(rèn)為是好的的代理變量，我們可以對百分比變動與進(jìn)行回歸，直接得到的估計值。根據(jù)公式（A3.18），如果證券組合的beta是1，對沖需要的最優(yōu)期貨是。但是

7、，對于一個股票組合，如果變動大于市場（>1），由于期貨價格變動的比例小于標(biāo)的股票，則需要更多的期貨才能成功地對沖。