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《專題十三-共軛算子與自共軛算子.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、專題十三共軛算子與自共軛算子引例1實(shí)Rn空間中的共軛算子分析:(1)作映射A:Rn?Rm，則A是有界線性算子，且A的表現(xiàn)形式為一個(gè)m?n矩陣：?x=(x1,…xn)T?Rn,(2)定義在Rm上的有界線性泛函極為y*,Rm的共軛空間記(Rm)*,即(Rm)*={y*
2、y*為Rm上的有界線性泛函}?(Rm)*=Rm(Rm是實(shí)的Hilbert空間，因而是自共軛的）??y*?(Rm)*,?y=(y1,…,ym)?Rm,使(Riesz表現(xiàn)定理)?y*=y(在等距共軛線性同構(gòu)意義下),且其中(3)不難證明，x*=A*y*是Rn上的有界
3、線性泛函，從而算子A*:(Rm)*?(Rn)*，A*y*=x*是一個(gè)有界線性算子.稱A*為A的共軛算子。(4)結(jié)論：在歐式空間中，算子A:Rn?Rm,Ax=y表現(xiàn)為一個(gè)m?n矩陣A=(aij)m?n，A的共軛算子A*:(Rm)*?(Rn)*,A*y*=x*則表現(xiàn)為矩陣A=(aij)m?n的轉(zhuǎn)置矩陣AT=(aji)n?m求實(shí)Rn空間中的共軛算子的過(guò)程圖示將實(shí)Rn空間中的共軛算子進(jìn)行推廣，將得到Banah空間的共軛算子的概念和Hilbert空間的自共軛算子概念1巴拿赫空間中的共軛算子的概念定義1(共軛算子)設(shè)X、Y是線性賦范空
4、間，T:X?Y是有界線性算子，即T?B(X,Y)，X*、Y*是分別是X、Y的共軛空間，則對(duì)?y*?Y*,?x*?X*唯一,使得x*(x)=y*(Tx),
5、
6、x*
7、
8、?
9、
10、T
11、
12、
13、
14、y*
15、
16、(?x?X)從而定義了一個(gè)從Y*到X*的有界線性算子T*:T*:Y*?X*,T*y*=x*則稱T*?B(Y*,X*)為T?B(X,Y)的共軛算子(或伴隨算子),并有T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx)定義2(二次共軛算子)?T?B(X,Y)，T*?B(Y*,X*),有T**?B(X**,Y**),使T**x**(y*)=x**(T*y
17、*)(?y*?Y)則稱T**為T*的共軛算子，或稱為T的二次共軛算子。3)T**與T的關(guān)系：在討論X和X**的關(guān)系是得到如下關(guān)系：?x?X,x*?X*?x**(x*)=x*(x),
18、
19、x**
20、
21、X**=
22、
23、x
24、
25、X,X?X**??T?B(X,Y)，T*?B(Y*,X*),有T**?B(X**,Y**):T**x**(y*)=x**(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)**(y*)(?x?X,y*?Y*,有T*y*?X*,Tx?Y)?(Tx)**=T**x**4)若把X嵌入到X**，把Y嵌入到Y(jié)**,即X?X*
26、*,Y?Y**,則可視x**=x,Tx=(Tx)**=T**x**=T**x?T**x=Tx,?x?X.注:1)T與T*之間具有一定的對(duì)稱關(guān)系2)線性賦范空間中的共軛算子的圖示：
27、
28、x*
29、
30、?
31、
32、T
33、
34、
35、
36、y*
37、
38、T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx)2巴拿赫空間中的共軛算子的性質(zhì)定理1設(shè)X、Y是線性賦范空間，T:X?Y是有界線性算子，X*、Y*分別是X、Y的共軛空間，T*:Y*?X*為T的共軛算子，則T*一定是有界線性算子，且
39、
40、T*
41、
42、=
43、
44、T
45、
46、證1)證明T*:Y*?X*是線性算子。T*(y*+v*)(x)=(y*
47、+v*)(Tx)=y*(Tx)+v*(Tx)=T*y*(x)+T*v*(x)T*(?y*)(x)=?y*(Tx)=?T*y*2)證明T*:Y*?X*是有界算子。
48、
49、T*y*
50、
51、=
52、
53、x*
54、
55、?
56、
57、T
58、
59、
60、
61、y*
62、
63、?T*是有界算子，且
64、
65、T*
66、
67、?
68、
69、T
70、
71、3)證明
72、
73、T*
74、
75、=
76、
77、T
78、
79、。一方面，
80、
81、T*
82、
83、?
84、
85、T
86、
87、另一方面，有Hana-Banach定理，若T??,則存在y*?Y*,使得
88、
89、y*
90、
91、=1,
92、y*(Tx)
93、=
94、
95、Tx
96、
97、?
98、
99、Tx
100、
101、=
102、y*(Tx)
103、=
104、(T*y*)(x)
105、?
106、
107、T*y*
108、
109、
110、
111、x
112、
113、
114、?
115、
116、T*
117、
118、
119、
120、y*
121、
122、
123、
124、x
125、
126、=
127、
128、T*
129、
130、
131、
132、x
133、
134、?
135、
136、T
137、
138、?
139、
140、T*
141、
142、。若T=??
143、
144、T*
145、
146、=0=
147、
148、T
149、
150、因此
151、
152、T*
153、
154、=
155、
156、T
157、
158、定理2設(shè)X、Y、Z都是線性賦范空間，若T,T1?B(X,Y),T2?B(Y,Z),則1)(?T)*=?T8；2)(T2·T1)*=T1*T2*;3)(T1+T2)*=T1*+T2*;4)若I:X?X是恒等算子,則I*:X*?X*也是恒等算子。證1）?y*?Y*,?x?X?(?T)*y*(x)=y*(?Tx)=?y*(Tx)=?T*y*(x)?(?T)*=?T*；2)?z*
159、?Z*,?x?X?(T2·T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*[T2(T1x)]=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x)?(T2·T1)*=T1*T2*3)(T1+T2)*y*(x)=y*[(T1+T2)(x)]=y*(T1x)+y*(T2x)=T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T
