一維勢(shì)壘散射知識(shí)講解.ppt

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1、一維勢(shì)壘散射7.1.1分波包的自相關(guān)7.1波包的反射和透射系數(shù)公式考慮不對(duì)稱的一維勢(shì)，這給出了哈密頓量和勢(shì)能函數(shù)圖7.1是波包分開的過(guò)程。A表示波包從左邊入射，在這里定義t趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)刻入射，這使得入射波包只含有動(dòng)量大于零的成分。為了方便，書上把入射方向的稱為反應(yīng)物，把出射方向的成為生成物。在圖7.1中，波包的平均能量要小于勢(shì)壘能量的最大值。在經(jīng)典力學(xué)中，入射粒子將會(huì)被完全反射，而在量子中，波包將會(huì)分開，一部分被反射，一部分被透射。b圖是碰撞過(guò)程，碰撞之后波包分開，如圖c所示。在這里我們定義碰撞之前即t=0時(shí)刻，入射波包接近勢(shì)壘但只含有動(dòng)量大于零的平

2、面波成分。t=T時(shí)刻，波包完全被分開，定義在生成物這邊的幾率波幅為，在生成物這邊的為，得到下面這幾幅是波包在動(dòng)量表示中的圖，和坐標(biāo)表示一一對(duì)應(yīng)。同理可得到7.5式中的交叉項(xiàng)消失，我們可以定性的理解為這些函數(shù)在坐標(biāo)和動(dòng)量空間處于不同的區(qū)域，它們沒(méi)有重疊項(xiàng)。我們把歸一化的條件運(yùn)用到7.2式，得到通過(guò)分離透射和反射波包，構(gòu)造它們各自的自相關(guān)函數(shù)，傅立葉變換，得到反射和透射波包的光譜設(shè)在上述推導(dǎo)中，第一步和最后一步用到了自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題6.25同樣，這里的交叉項(xiàng)。也就說(shuō)即使隨時(shí)間向后擴(kuò)散，它也不可能與有重疊項(xiàng)。在出射時(shí)刻兩個(gè)波包正交，不管以后波包怎樣隨時(shí)間

3、演化，兩個(gè)波包還是正交，同理，若入射時(shí)刻兩個(gè)波包正交，則它們的正交性不變。對(duì)7.7式兩邊進(jìn)行傅立葉變換上式兩邊同時(shí)除以，得到這時(shí)，定義反射系數(shù)和透射系數(shù)7.9式也說(shuō)明粒子要么反射要么透射，只有這兩種情況a為入射波包，反射波包和透射波包的自相關(guān)函數(shù)b為三個(gè)波包的光譜圖7.1.2分波包在平面波上的投影我們繼續(xù)討論波包分開的過(guò)程，根據(jù)波包在平面波上的投影給出反射和透射系數(shù)的另一種表達(dá)式。要做這個(gè)計(jì)算首先用到能量歸一平面波?？梢愿鶕?jù)動(dòng)量歸一平面波得到能量歸一平面波。現(xiàn)在我們從平面波的動(dòng)量歸一定義開始。動(dòng)量歸一化與能量歸一化平面波既然有了自由粒子薛定諤方程，我們

4、可以得出它們的解方程的解已由表格7.1給出，滿足歸一化條件利用函數(shù)的性質(zhì)事實(shí)上，我們所說(shuō)的動(dòng)量歸一化，是用k代替了p。為了得到光譜項(xiàng)的表達(dá)式，應(yīng)該用能量表示類似的，我們也可以得到勢(shì)壘右邊的能量歸一化波函數(shù)。為了確定完整性，在能量歸一化波函數(shù)中，我們需要考慮處于能量E時(shí)，有兩個(gè)動(dòng)量+k三個(gè)光譜的投影首先考慮入射波包的光譜公式為入射波包，是入射波包的能量光譜。這個(gè)式子中最重要的點(diǎn)是用代替。我們知道在散射過(guò)程中入射波包的自相關(guān)函數(shù)在有限的時(shí)間內(nèi)一定會(huì)衰退為零，盡管有一些特例，比如共振，衰退時(shí)間會(huì)延長(zhǎng)，但在散射過(guò)程中也是有限的。對(duì)于時(shí)間零點(diǎn)時(shí)刻的轉(zhuǎn)換自相關(guān)函數(shù)

5、不變。我們可以選取時(shí)間為負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)為時(shí)刻零點(diǎn)，這樣在波包到達(dá)相互作用勢(shì)之前入射波包的相關(guān)函數(shù)已衰退為零。借助這種時(shí)間變換，在反應(yīng)物區(qū)域相關(guān)函數(shù)就已經(jīng)完全被確定，因此在傳播中可以用代替。應(yīng)該指出對(duì)于入射波包，態(tài)是完備的，得到，這里，用到了7.14式，而且入射波包在態(tài)上沒(méi)有投影。現(xiàn)在考慮反射波包的能級(jí)光譜。它的導(dǎo)出與入射波包的能級(jí)光譜相似，我們也用代替，這時(shí)候取T為波包分開后足夠長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)刻。最后考慮透射波包的能級(jí)光譜反射和透射系數(shù)現(xiàn)在，計(jì)算反射和透射系數(shù)。將上述得到的入射光譜，反射和透射光譜代入到反射和透射系數(shù)公式，得到7.25中，反射系數(shù)和透射系數(shù)是漸進(jìn)

6、波包和在能量歸一化的自由粒子本征態(tài)的投影，由入射波包，處于能量E的波函數(shù)進(jìn)行歸一化。根據(jù)在k歸一本征態(tài)的投影比率，7.25式可表示成上述公式用到了7.13式和等。這些表達(dá)式給出了反射系數(shù)和透射系數(shù)的關(guān)系，以及和的關(guān)系，其中是波包和在動(dòng)量空間的表示，可由傅立葉變換得到。在透射系數(shù)公式中出現(xiàn)了因子，我們也可以從物理的角度來(lái)理解，在能量E時(shí)，相應(yīng)的態(tài)密度為和利用這個(gè)關(guān)系，7.26式也可表示成，7.2勢(shì)壘散射的交叉相關(guān)函數(shù)公式和S-矩陣7.2.1波包的相關(guān)矩陣在上述過(guò)程，我們從入射波包的擴(kuò)散得出反射和透射系數(shù)。如果入射波包從相反方向入射，那透射系數(shù)和反射系數(shù)還

7、滿足上述的簡(jiǎn)單關(guān)系嗎？答案是肯定的。從兩個(gè)方向入射時(shí)，透射系數(shù)仍相等，并且也同樣成立。所以反射系數(shù)公式也相等（對(duì)于在漸進(jìn)區(qū)域能量處于一定的范圍內(nèi)的波包是成立的）為了推導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果，在散射過(guò)程中可以引入更為對(duì)稱的方法。我們定四個(gè)基本波包和，其中表示勢(shì)壘左邊的區(qū)域，表示勢(shì)壘右邊的區(qū)域，角標(biāo)+表示t小于零時(shí)刻波包的入射，角標(biāo)-表示t大于零時(shí)刻波包從勢(shì)壘的出射。因此，這四個(gè)基本波包分別表示從左邊入射到左區(qū)域，出射到左區(qū)域，從右邊入射入射到有區(qū)域和出射到右區(qū)域的波包，如圖7.47.28式說(shuō)明入射波包和出射波包是歸一化的。7.29式說(shuō)明兩個(gè)入射波包正交，兩個(gè)出射波

8、包正交。嚴(yán)格的證明在后面會(huì)講到?，F(xiàn)在，我們可以通過(guò)圖7.5進(jìn)行簡(jiǎn)單的解釋。圖7.5是一維勢(shì)的等