第3章-隨機(jī)變量的數(shù)字特征、概率生成函數(shù)、特征函數(shù)(碩士).ppt

《第3章-隨機(jī)變量的數(shù)字特征、概率生成函數(shù)、特征函數(shù)(碩士).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第3章隨機(jī)變(向量)的數(shù)字特征、生成函數(shù)、特征函數(shù)概率論隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的矩與中位數(shù)隨機(jī)變量間的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量偏度、峭度隨機(jī)變量條件期望與方差隨機(jī)變量生成函數(shù)與特征函數(shù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望MathematicalExpectation以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績(jī)的平均狀態(tài)。一、引例某7學(xué)生的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量所有可能取值的平均應(yīng)怎么確定？？？二、數(shù)學(xué)期望的定義離散型隨機(jī)變量Def設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為連續(xù)型隨機(jī)變量Def設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的

2、概率密度為，若廣義積分隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義例3.1已知隨機(jī)變量X的分布律為4561/41/21/4求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義例3.2已知隨機(jī)變量X的分布律為01求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義例3.3已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例3.4已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例3.5已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例3.6已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例3.7若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量例3.8設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為11

3、3解：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.一元隨機(jī)變量函數(shù)的情況設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，離散型連續(xù)型2.二元隨機(jī)變量函數(shù)的情況離散型連續(xù)型例3.9例3.10設(shè)X與Y相互獨(dú)立，它們的概率密度函數(shù)分別為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C；2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4.設(shè)X，Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)；請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立證明：這里只證明行至3,4利用這些性質(zhì)可以再求數(shù)學(xué)期望時(shí)計(jì)算得以化簡(jiǎn)。例3.12設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期

4、望。X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù)。解：隨機(jī)變量的方差Variance隨機(jī)變量方差的定義設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱(chēng)為的方差，記作或方差的計(jì)算公式與有相同的量綱均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)方差的統(tǒng)計(jì)意義隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量所有可能取值的聚散程度。例3.11已知隨機(jī)變量X的分布律為01求方差解：例3.12已知隨機(jī)變量。求方差例3.13已知隨機(jī)變量。求方差例3.14已知隨機(jī)變量。求方差例3.15已知隨機(jī)變量。求方差方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；

5、2.若a，b是常數(shù)，則3.相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量證明:例3.16解：隨機(jī)變量的矩與中位數(shù)隨機(jī)變量的矩原點(diǎn)矩與中心矩(OriginandCentralmoment)Def設(shè)X是隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)其為X的k階原點(diǎn)矩，若存在，則稱(chēng)其為X的k階中心矩，中位數(shù)(Median)Def顯然，隨機(jī)變量1階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望；2階中心矩是方差隨機(jī)變量的偏度與峭度隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望與應(yīng)用一、條件數(shù)學(xué)期望的概念Conditionalexpectation1.Def設(shè)隨機(jī)變量的條件分布存在，則條件數(shù)學(xué)期望定義如下2.隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望的意義反映了隨機(jī)變量的平均值對(duì)隨機(jī)變

6、量的依賴(lài)顯然，是的函數(shù)，記其為，即有稱(chēng)其為對(duì)的回歸函數(shù)或回歸方程。例3.17設(shè)二維隨機(jī)向量，求在條件下隨機(jī)變量X的條件數(shù)學(xué)期望。解：由例題3.42知條件下隨機(jī)變量X的條件分布為所以，條件下隨機(jī)變量X的條件數(shù)學(xué)期望。注意：條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的所有性質(zhì)二、條件數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望（重期望）如果把條件數(shù)學(xué)期望中的換成并記為，則其為隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望稱(chēng)為重期望，即定理（重期望公式）設(shè)為二維隨機(jī)向量，且存在，則有證明：只對(duì)連續(xù)性情況證明設(shè)的概率密度為令，則有重期望公式的應(yīng)用這公式提供了一個(gè)在大范圍求平均的一種思想方法，即所謂的兩次平均法例3.18一名礦工被困

7、在礦井有三個(gè)門(mén)的位置，第一個(gè)門(mén)與一個(gè)經(jīng)3小時(shí)路程可到達(dá)安全區(qū)的坑道連接；第二個(gè)門(mén)與一個(gè)經(jīng)5小時(shí)路程可回到原處的坑道連接；第三個(gè)門(mén)與一個(gè)經(jīng)7小時(shí)路程可回到原處的坑道連接。假定該礦工等可能在三個(gè)門(mén)種選擇，求他平均需要多少時(shí)間才能到達(dá)安全區(qū)。解：設(shè)該礦工需要小時(shí)到達(dá)安全區(qū)，則的可能取值顯然有由題設(shè)知記礦工平均需要時(shí)間為由重期望計(jì)算式解的解得例3.19設(shè)電力公司每月可供給某工廠的電量（單位：萬(wàn)千瓦），該廠每月實(shí)際需要電量（單位：萬(wàn)千瓦）。如果工廠從電力公司得到足夠的電力則每萬(wàn)千瓦電力可創(chuàng)造30萬(wàn)元的利潤(rùn)，如工廠從電力公司得不到足夠的電力，不足部分通過(guò)其他途徑解決

8、，但每萬(wàn)千瓦電力可創(chuàng)造10萬(wàn)元的利潤(rùn)，求該工廠每月的平均利潤(rùn).解：設(shè)該工廠每月的