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1、第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)4.1數(shù)學(xué)期望作業(yè)題P2452,3,5,7,12,14,24,25,26,28,31,58例、甲、乙兩人進(jìn)行打靶,擊中的環(huán)數(shù)分別記為ξ,η,它們的分布律分別為:評(píng)定他們成績(jī)的好壞。ηp89100.20.50.3ξp89100.30.10.6分布函數(shù)—全面刻畫了隨機(jī)變量的取值規(guī)律特征數(shù)字—從某個(gè)側(cè)面刻畫隨機(jī)變量的特征例如:數(shù)學(xué)期望:刻畫隨機(jī)變量的平均取值方差:刻畫隨機(jī)變量取值的偏離程度若統(tǒng)計(jì)100天,引例某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量.(假定
2、小張每天至多出3件廢品),那么如何定義ξ的平均值呢?32天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為ξ的平均值呢?一平均值與加權(quán)平均值可以想象,若另外統(tǒng)計(jì)100天,車工小張不出廢品,出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同,這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為一般來(lái)說(shuō),若
3、統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率和概率的關(guān)系不難想到,在求廢品數(shù)ξ的平均值時(shí),用概率代替頻率,得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量ξ的平均值.定義設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量,它的分布律是:P{ξ=ξk}=pk,k=1,2,…如果絕對(duì)收斂,定義ξ的數(shù)學(xué)期望為,簡(jiǎn)稱期望,又稱均值。注:1、為什么要絕對(duì)收斂?2、為什么稱為“數(shù)學(xué)期望”?3、為什么又簡(jiǎn)稱”均值”.?二、離散型場(chǎng)合“數(shù)學(xué)期望”名稱的來(lái)歷—分配賭金問(wèn)題甲乙兩賭徒賭技相同,各出500元做賭金,假設(shè)沒(méi)有和局
4、。雙方約定:先勝滿三局者得全部賭金1000元?,F(xiàn)在甲二勝一負(fù)卻因故要退出比賽,問(wèn)如何公平分配賭金?方法一:平均分,每人500元方法二:甲得三分之二,乙得三分之一方法三:依照約定按個(gè)人勝的可能性分?jǐn)?shù)學(xué)期望有可能不存在設(shè)隨機(jī)變量ξ取值為其對(duì)應(yīng)概率為盡管但是所以,ξ的數(shù)學(xué)期望不存在求二項(xiàng)b(n,p),泊松P(λ),幾何分布的數(shù)學(xué)期望ξ~b(n,p),E(ξ)=npξ~b(1,p),E(ξ)=pξ~P(λ),E(ξ)=λξ~幾何分布,E(ξ)=1/p隨機(jī)變量總是在其數(shù)學(xué)期望附近取值概率較大三、應(yīng)用實(shí)例例1(買彩票
5、的期望所得)發(fā)行彩票10萬(wàn)張,每張1元。設(shè)一等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金一萬(wàn);二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5000;三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1000;四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各100;五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元。用ξ表示每張彩票的所得,則ξ10450001000100100E(ξ)例2(保險(xiǎn)中如何確定保費(fèi))收取保費(fèi)的原則:被保險(xiǎn)人交的“純保險(xiǎn)費(fèi)”=被保險(xiǎn)人期望得到的賠償金設(shè)出事概率為p,有N個(gè)人參保,每人交保險(xiǎn)費(fèi)a,每人的出事賠償金b,出事的人數(shù)為ξ,則應(yīng)有例3(投資決策)某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金,想投資某項(xiàng)目,預(yù)估成功機(jī)會(huì)為0.3,可得
6、利潤(rùn)8萬(wàn),失敗機(jī)會(huì)為0.7,將損失2萬(wàn)。若不投資而存入銀行,同期間利率為0.05,問(wèn)是否應(yīng)做此項(xiàng)投資?若不投資,存入銀行的利潤(rùn)為10×0.05=0.5萬(wàn)例、在一個(gè)人數(shù)為N的人群中普查某種疾病,為此要抽查這N個(gè)人的血。有兩種方法:一是將每個(gè)人的血分別檢驗(yàn),這樣就要做N次化驗(yàn);二是按k個(gè)人一組進(jìn)行分組,對(duì)每一組只化驗(yàn)其混合血液,如果某小組混合血液呈陰性反應(yīng)(該組無(wú)人患?。?,則該組只做一次化驗(yàn),如果該小組混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)(該組至少有一人患?。?,則再對(duì)該組每個(gè)人的血液進(jìn)行化驗(yàn),以此來(lái)確定患病的人數(shù)。假設(shè)該疾病的
7、發(fā)病率為p,問(wèn)如何分組(即k取多少)能減少平均化驗(yàn)次數(shù)?令ξ表示每個(gè)人的血需要化驗(yàn)的次數(shù),則其分布列為ξ1/k1+1/kP(1-p)k1-(1-p)k例如我們可以計(jì)算p=0.1時(shí),不同k對(duì)應(yīng)的E(ξ)值k2345810303334E(ξ)0.690.6040.5940.610.6950.7510.9910.9941.0016四、連續(xù)型場(chǎng)合定義設(shè)ξ是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為p(ξ),如果有限,定義ξ的數(shù)學(xué)期望為例:某新產(chǎn)品在未來(lái)市場(chǎng)上的占有率ξ是(0,1)上取值的r.v.,其概率密度為試求平均市場(chǎng)占有率
8、。求均勻分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布的期望ξ~U(a,b),則E(ξ)=(a+b)/2ξ~N(μ,σ2),則E(ξ)=μξ~Eξp(λ),則E(ξ)=1/λ例:某商店對(duì)某種家用電器的使用采取先使用后付款的方式,記使用壽命為ξ(年),規(guī)定設(shè)壽命ξ服從的分布函數(shù)為:求該商店一臺(tái)收費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望。五、一般場(chǎng)合(略)六、隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4.1.1設(shè)η=g(ξ)是隨機(jī)變量ξ的函數(shù),g(ξ)是一元Borel函數(shù),若E(g(ξ))存在,則