數(shù)字特征與特征函數(shù)

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1、151《概率論》計(jì)算與證明題第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)1、設(shè)是事件A在n次獨(dú)立試驗(yàn)中的出現(xiàn)次數(shù)，在每次試驗(yàn)中，再設(shè)隨機(jī)變量視取偶數(shù)或奇數(shù)而取數(shù)值0及1，試求及。2、袋中有k號(hào)的球k只，，從中摸出一球，求所得號(hào)碼的數(shù)學(xué)期望。3、隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的概率為，已知，試決定A與B。4、袋中有n張卡片，記號(hào)碼1,2,…,n,從中有放回地抽出k張卡片來(lái)，求所得號(hào)碼之和的數(shù)學(xué)期望及方差。5、試證：若取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則。6、若隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為。試求，。7、若相互獨(dú)立，均服從，試證。8、甲袋中有

2、只白球只黑球，乙袋中裝有只白球只黑球，現(xiàn)從甲袋中摸出只球放入乙袋中，求從乙袋中再摸一球而為白球的概率。9、現(xiàn)有n個(gè)袋子，各裝有只白球只黑球，先從第一個(gè)袋子中摸出一球，記下顏色后就把它放入第二個(gè)袋子中，再?gòu)牡诙€(gè)袋子中摸出一球，記下顏色后就把它放入第三個(gè)袋子中，照這樣辦法依次摸下去，最后從第n個(gè)袋子中摸出一球并記下顏色，若在這n次摸球中所摸得的白球總數(shù)為，求。10、在物理實(shí)驗(yàn)中，為測(cè)量某物體的重量，通常要重復(fù)測(cè)量多次，最后再把測(cè)量記錄的平均值作為該體質(zhì)重量，試說(shuō)明這樣做的道理。11、若的密度函數(shù)是偶函數(shù)，且，試證與不相關(guān)，

3、但它們不相互獨(dú)立。12、若的密度函數(shù)為，試證：與不相關(guān)，但它們不獨(dú)立。13、若與都是只能取兩個(gè)值的隨機(jī)變量，試證如果它們不相關(guān)，則獨(dú)立。14、若，試證的相關(guān)系數(shù)等于的相關(guān)系數(shù)。151《概率論》計(jì)算與證明題15、若是三個(gè)隨機(jī)變量，試討論（1）兩兩不相關(guān)；（2）；（3）之間的關(guān)系。16、若服從二元正態(tài)分布，。證明：與的相關(guān)系數(shù)，其中。17、設(shè)服從二元正態(tài)分布，，試證：。18、設(shè)與獨(dú)立，具有相同分布，試求與的相關(guān)系數(shù)。19、若服從，試求。20、若及分別記二進(jìn)制信道的輸入及輸出，已知，，試求輸出中含有輸入的信息量。21、在12只

4、金屬球中混有一只假球，并且不知道它比真球輕還是重，用沒(méi)有砝碼的天平來(lái)稱這些球，試問(wèn)至少需要稱多少次才能查出這個(gè)假球，并確定它比真球輕或重。22、試用母函數(shù)法求巴斯卡分布的數(shù)學(xué)期望及方差。23、在貝努里試驗(yàn)中，若試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，試證成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)這兩個(gè)變量獨(dú)立的充要條件，是服從普阿松分布。24、設(shè)是一串獨(dú)立的整值隨機(jī)變量序列，具有相同概率分布，考慮和，其中是隨機(jī)變量，它與相互獨(dú)立，試用（1）母函數(shù)法，（2）直接計(jì)算證明。25、若分布函數(shù)成立，則稱它是對(duì)稱的。試證分布函數(shù)對(duì)稱的充要條件，是它的特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù)

5、。26、試求均勻分布的特征函數(shù)。27、一般柯西分布的密度函數(shù)為。證它的特征函數(shù)為，利用這個(gè)結(jié)果證明柯西分布的再生性。151《概率論》計(jì)算與證明題28、若隨機(jī)變量服從柯西分布，，而，試證關(guān)于特征函數(shù)成立著，但是與并不獨(dú)立。29、試求指數(shù)分布與分布的特征函數(shù)，并證明對(duì)于具有相同值的分布，關(guān)于參數(shù)有再生性。30、求證：對(duì)于任何實(shí)值特征函數(shù)，以下兩個(gè)不等式成立：。31、求證：如果是相應(yīng)于分布函數(shù)的特征函數(shù)，則對(duì)于任何值恒成立：。32、隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，且它的階矩存在，令，稱為隨機(jī)變量的k階半不變量，試證（是常數(shù)）的階半不變量

6、等于。33、試求出半不變量與原點(diǎn)矩之間的關(guān)系式。34、設(shè)相互獨(dú)立，具有相同分布試求的分布，并寫(xiě)出它的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差陣，再求的分布密度。35、若服從二元正態(tài)分布，其中，試找出矩陣，使，且要求服從非退化的正態(tài)分布，并求的密度函數(shù)。36、證明：在正交變換下，多元正態(tài)分布的獨(dú)立、同方差性不變。37、若為，（1）求隨機(jī)變量的邊際分布；（2）求。38、若的取值是非負(fù)數(shù)，且,又，求39、設(shè)且二者獨(dú)立，求,的相關(guān)系數(shù)40、某汽車(chē)站在時(shí)間t內(nèi)發(fā)車(chē)的概率為P(t)=1-，求某人等候發(fā)車(chē)的平均勻時(shí)間。41、某廠生產(chǎn)的園盤(pán)的直徑服從內(nèi)的均勻分

7、布，求園盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望。151《概率論》計(jì)算與證明題42、搜索沉船，在時(shí)間t內(nèi)發(fā)現(xiàn)沉船的概率為，求為了發(fā)現(xiàn)沉船所需要的平均搜索時(shí)間。43、從數(shù)字中按有放回方式取數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量表示第一次選取的數(shù)字，隨機(jī)變量表示第二次選取的不小于的數(shù)字.(1)寫(xiě)出的聯(lián)合分布列;(2)求.44、如果互不相關(guān),且方差分別為,求的相關(guān)系數(shù).45、將三個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)盒子中去，設(shè)隨機(jī)變量分別表示放入第一個(gè)、第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)。1)求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列;2)求46、設(shè)相互獨(dú)立，且，求的相關(guān)系數(shù)。47、民航機(jī)場(chǎng)一送客汽車(chē)載有20個(gè)旅客從機(jī)

8、場(chǎng)開(kāi)出，旅客可從10個(gè)站下車(chē)，如果到站沒(méi)人下車(chē)就不停車(chē)，假定乘客在每個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的，求平均停車(chē)次數(shù)。48、據(jù)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)40歲的健康者在5年內(nèi)死亡的概率為，保險(xiǎn)公司開(kāi)辦五年人壽保險(xiǎn)，條件是參加者需要交保險(xiǎn)費(fèi)元，若五年內(nèi)死亡，公司賠償元，問(wèn)應(yīng)如何確定才能使公司可望受益？若有個(gè)人參加保險(xiǎn)，公司可望收益多少?49、對(duì)敵