隨機(jī)過(guò)程_汪榮鑫_第一章答案.docx

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1、第一章隨機(jī)過(guò)程的基本概念1．設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Xcosw0t,-￥0時(shí)此時(shí)若cows0t同理有ìxü1x-x2F(x,t)=PíX￡y=cosw0te2dxcosw0t?t2pò0?F(x,t)1-x21f(x,t)==e2co2sw0t×?xcosw0t2p<0時(shí)ìxüìxüF(x,

2、t)=PíX3y=1-Píx

3、cosw0t

4、2p2．利用投擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義隨機(jī)過(guò)程為1ìcospt,出現(xiàn)正面X(t)=í?2t,出現(xiàn)反面1假定“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為12。試確定X(t)的一維分布函數(shù)F(x,2)和F(x,1)，以及二維分布函數(shù)F(x1,x2;12,1)解：（1）先求F(x,1)2ìp?1??cos,出現(xiàn)正面ì0

5、出現(xiàn)正面2顯然X?÷=í=í出現(xiàn)反面è2??2-1,出現(xiàn)反面?12??1?隨機(jī)變量X?÷的可能取值只有0，1兩種可能，于是è2?ì?1?ü1ì?1?ü1PíX?÷=0y=PíX?÷=1y=2222?è?t?è?t所以ì0x<0?1??1F?x,÷=í0￡x<12è2??x31?1再求F（x,1）ìcosp出現(xiàn)正面ì-1出現(xiàn)正面顯然X(1)=í=í?2出現(xiàn)反面?2出現(xiàn)反面p{X(1)=-1}=p{X(1)=2}=12所以ì0x<-1?1F(x,1)=?-1￡x<2í2?x32?1?1(2)計(jì)算F(x1,x2;2,1)10出現(xiàn)正面-1出現(xiàn)正面ììX()=í,X(1)=í2?1出現(xiàn)反

6、面?2出現(xiàn)反面于是2?1?ì?1?üFx?x1,x2;,1÷=píX?÷￡x1;X(1)￡x2y2è??è2?tì0x1<0-￥1,-1￡x2<2??x1>1,x232?13．設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),-￥

7、st)X33333=1(1+sint+cost)3相關(guān)函數(shù)R(t,t)=F[X(t)X(t)]=1×1+sint×sint×1+1costcost3X1212312312=1[1+cos(t-t)]3124．設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=e-Xt(t>0)其中X是具有分布密度f(wàn)(x)的隨機(jī)變量。試求X(t)的一維分布密度。解：對(duì)于任意t>0因?yàn)镕X(x,t)=P(x(t)￡x)∴當(dāng)x>0時(shí)FX(x,t)=P{e-Xt￡x}=P{-Xt￡lnx}=PìíX?ìlnxü-lnx=1-píX<-y=1-ò-￥tf(x)dx?tt(x,t)=?(x,t)=?-lnx?×1∴fXFXf?÷?xxt

8、èt?3-lnxüytt3當(dāng)x￡0時(shí)FX(x,t)=p{e-Xt￡x}=01?lnx?∴隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布密度為fX(x,t)=f?-÷xtèt?5．在題4中，假定隨機(jī)變量X具有在區(qū)間（0，T）中的均勻分布，試求隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字期望EX(t)和自相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2)解：∵隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為ì1fX(x)=?x?(0,T)íT?0其它?因此：EX(t)=Te-xtf(x)dx=Te-xt×1dx=1Te-xtdx=1(-1)e-xtTXò0ò0TTò0Tt0=1[1-e-tT]>0tTtRX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[e-Xt1e-Xt2

9、]=E[e-X(t1+t2)]=ò0Te-x(t1+t2)fX(x)dx=T(t11+t2)(1-e-T(t1+t2))6．設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),-￥