西華大學應用數(shù)學系朱雯.ppt

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1、高等數(shù)學西華大學應用數(shù)學系朱雯伯努利微分方程齊次微分方程一階線性微分方程第二節(jié)一階微分方程可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法例1求解微分方程解分離變量兩端積分二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義例5求解微分方程微分方程的解為解例6求解微分方程解微分方程的解為利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為一階線性微分方程的標準形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.三、線性方程例如線性的;非線性的.齊次方程的通解為1.線性齊次方

2、程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次方程特解解例8例9如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導得解解此微分方程所求曲線為思考題1求微分方程的通解.思考題解答思考題2求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學家,位數(shù)學

3、家.標和極坐標下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1703年出這是組合數(shù)學與概率論史此外,他對雙紐線,懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.四、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.四、伯努利方程解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.求出通解后，將代入即得代入上式解例10思考與練習判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程例11用

4、適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得所求通解為另解三、小結(jié)2.齊次方程3.線性非齊次方程4.伯努利方程1.可分離變量的微分方程思考題3方程是否為齊次方程?思考題解答方程兩邊同時對求導:原方程是齊次方程.練習題練習題答案