數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第13講.ppt

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1、為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的r.v以及更廣泛類型的r.v給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進(jìn)了分布函數(shù)的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK012———

2、——>x一、定義：設(shè)X是一個(gè)r.v，稱為X的分布函數(shù).記作X～F(x)或FX(x).如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.問(wèn)：在上式中，X,x皆為變量.二者有什么區(qū)別？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是隨機(jī)變量,x是參變量.F(x)是r.vX取值不大于x的概率.由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1

3、-F(x1)因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.二、離散型r.v的分布函數(shù)設(shè)離散型r.vX的概率函數(shù)是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…則F(x)=P(Xx)=由于F(x)是X取的諸值xk的概率之和，故又稱F(x)為累積概率函數(shù).離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算舉例當(dāng)x<0時(shí)，{Xx}=，故F(x)=0例1，求F(x).當(dāng)0x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解:當(dāng)1x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(

4、x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1，求F(x).F(x)=P(Xx)解:故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下.概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫(huà)分布函數(shù)圖不難看出，F(xiàn)(x)的圖形是階梯狀的圖形，在x=0，1，2處有跳躍，其躍度分別等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).例2X具有離散均勻分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…，n，x(1)x

5、2)…x(n)x(k)x

6、例3設(shè)r.vX的密度函數(shù)為f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)=解：求F(x).解：對(duì)x<-1，F(xiàn)(x)=0對(duì)對(duì)x>1，F(xiàn)(x)=1即四、分布函數(shù)的性質(zhì)(1)F(x)非降，即若x1

7、，可見(jiàn)F(x)也不能是r.v的分布函數(shù).或者例5在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù).解：設(shè)F(x)為X的分布函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=00a當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)(x)=1當(dāng)0xa時(shí)，P(0Xx)=kx(k為常數(shù))由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/a0aF(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a例5在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)

8、.解：設(shè)F(x)為X的分布函數(shù)，例5在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù).這就是在區(qū)間[0，a]上服從均勻分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù).請(qǐng)看演示概率密度與分布函數(shù)大家一起來(lái)作下面的練習(xí).求F(x).例6設(shè)由于f(x)是分段表達(dá)的，求F(x)時(shí)注意分段求.=01F(x)對(duì)連續(xù)型r.v，若已知F(x)，我們通過(guò)求導(dǎo)也可求出f(x)，請(qǐng)看下例.即例7設(shè)r.vX的分布函數(shù)為(1)求X取值在區(qū)間(0.3,0.