《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第7講

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1、在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A

2、B).一般P(A

3、B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A

4、B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A

5、B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，容易看到P(A

6、B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一

7、件，記B={取到正品}A={取到一等品}，P(A

8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}P(A

9、B)=3/7本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計(jì)算P(A

10、B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)

11、生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.對(duì)任一事件A，0≤P(A

12、B)≤1;2.P(S

13、B)=1；3.設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1+…+An)

14、B]=P(A1

15、B)+…+P(An

16、B)而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.請(qǐng)自行寫出.2)從加入條件后改變了的情況去算4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A

17、B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)

18、數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A

19、B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A

20、B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B

21、A)(3)若P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B

22、A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A

23、B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子例2甲、乙兩廠共同

24、生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A

25、B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A

26、B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)例3設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以

27、上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B

28、A).條件概率P(A

29、B)與P(A)的區(qū)別每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A

30、B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.而條件概率P(A

31、B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A

32、B)仍是概率.條件概

33、率P(A

34、B)與P(A)數(shù)值關(guān)系條件概率P(A

35、B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小.那么,是否一定有:或P(A

36、B)P(A)?P(A

37、B)P(A)?請(qǐng)思考??！請(qǐng)看演示“條件概率與概率的相對(duì)大小”當(dāng)P(A1A2…An-1)>0時(shí)，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2

38、A1)…P(An

39、A1A2…An-1)推廣到多個(gè)事件的乘法公式:乘法公式應(yīng)用舉例一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.（波里