概率論與數(shù)理統(tǒng)計 答案 隨機變量的數(shù)字特征

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1、第4章隨機變量的數(shù)字特征4.1內(nèi)容提要4.1.1數(shù)學期望1.數(shù)學期望的概念數(shù)學期望是刻畫隨機變量取值集中位置或平均水平的最基本的數(shù)字特征.在實際應用中,對于產(chǎn)量、產(chǎn)值、利稅等指標希望有較高的數(shù)學期望,而成本、原材料消耗等指標當然要求有較低的期望值.2.數(shù)學期望的計算公式當離散型隨機變量給出分布列P{X=x}=p,i=1,2?,連續(xù)型隨機變量給出分布ii密度f(x)之后,數(shù)學期望的計算公式(定義)是:∞??∑xipi，X為離散型隨機變量，E(X)=?i=1+∞?∫xf(x)dx，X為連續(xù)型隨機變量．??∞作為定義,上述表達式中的求和、積分在理論上都應有絕對收斂的要求,

2、由于實際應用中條件收斂的情況并不多見,因而通常做題時免去了絕對收斂的考察.必須指出,今后凡涉及包括矩在內(nèi)的數(shù)字特征給出定義時也都應有絕對收斂的要求,到時不再一一說明.二維隨機變量的數(shù)學期望,原則上可在求出邊際分布列(密度)后按一維情形處理,也可在令f(X,Y)=X或f(X,Y)=Y之后,按隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望表出,即:∞∞???∑∑xipij,X,Y為離散型隨機變量,E(X)=?i=1j=1∞∞?∫∫xf(x,y)dxdy,X,Y為連續(xù)型隨機變量,???∞?∞∞∞???∑∑yjpij,X,Y為離散型隨機變量,E(Y)=?i=1j=1∞∞?∫∫yf(x,y)dxdy

3、,X,Y為連續(xù)型隨機變量.???∞?∞3.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望計算公式貫穿數(shù)字特征討論的全過程,起著重要作用的是涉及隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的四個公75式.(1)設X是一維離散型隨機變量,f(x)是連續(xù)函數(shù),X的分布列為:P{X=x}=p,i=1,2,3,?,ii則隨機變量函數(shù)Y=f(X)的數(shù)學期望為:∞E(Y)=Ef(X)=∑f(xi)pi.i=1(2)設(X,Y)是二維離散型隨機變量,f(x,y)是二元連續(xù)函數(shù),且(X,Y)的聯(lián)合分布列為:P{X=x,Y=y}=pi,j=1,2,3,?,ijij則隨機變量函數(shù)Z=f(X,Y)的數(shù)學期望為:∞∞E(Z)=E[f(X

4、,Y)]=∑∑f(xi,yj)pij.i=1j=1(3)設X是一維連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x),g(x)是連續(xù)函數(shù),則隨機變量函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學期望為:+∞E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx.?∞(4)設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,其聯(lián)合概率密度為f(x,y),g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù),則隨機變量函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學期望為:+∞+∞E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy.?∞?∞4.數(shù)學期望的性質(zhì)(1)線性性質(zhì)E(C)=C,其中C為任意常數(shù);E(kX±C)=kE(X)±C,其中k,C為任意常數(shù);E(X

5、±Y)=E(X)±E(Y);(2)E(XY)=E(X)?E(Y)+cov(X,Y).特別地,當X,Y相互獨立時,有E(XY)=E(X)?E(Y).4.1.2方差1.方差的概念方差是描述隨機變量取值集中(或分散)程度的基本數(shù)字特征.較大的方差D(X)說明X的取值相對于E(X)較為分散.以顯示差異性為目的的試驗希望有較大的方差.例如,選拔人才的考試只有在較大方差的情形下,才能實現(xiàn)好中選優(yōu)的目的.76較小的方差D(X)說明X的取值相對于E(X)較為集中.以穩(wěn)定性為目的的試驗希望有較小的方差.例如,對質(zhì)量指標的掌握總是以較高的期望和較小的方差為努力目標.2.方差的計算公式2

6、22D(X)=E{[X?E(X)]}=E(X)?[E(X)].3.方差的性質(zhì)(1)D(C)=0,其中C為任意常數(shù);2(2)D(kX±c)=kD(X),其中k,C為任意常數(shù);(3)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y).特別地,當X,Y相互獨立時,有D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.1.3協(xié)方差與相關系數(shù)1.矩的概念設X和Y為隨機變量,k和l是正整數(shù).kk如果X的數(shù)學期望存在,則稱E(X)為隨機變量X的k階原點矩,記作μ,即kkμ=E(X),k=1,2,?;kkk如果[X?E(X)]的數(shù)學期望存在,則稱E[X?E(X)]為隨機變量X的k階中心矩,記作

7、v,即kkv=E[X?E(X)],k=1,2,?;kklkl如果XY的數(shù)學期望存在,則稱E(XY)為隨機變量X和Y的k+l階混合矩.klkl如果[X?E(X)][Y?E(Y)]的數(shù)學期望存在,則稱E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}為X和Y的k+l階混合中心矩.2.協(xié)方差與相關系數(shù)的概念協(xié)方差與相關系數(shù)是反映兩個隨機變量之間相互關聯(lián)程度的數(shù)字特征.cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}=E(XY)?E(X)E(Y),cov(X,Y)ρ=.XYD(X)D(Y)3.協(xié)方差的性質(zhì)(1)cov(XY,)=cov(YX,);(2)對任意實數(shù)a,b,c,