13　可線性化的回歸分析

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會將非線性回歸模型經(jīng)過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，進(jìn)而進(jìn)行回歸分析．學(xué)習(xí)本節(jié)后還應(yīng)初步會將簡單的非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題．(重點、難點)1.3可線性化的回歸分析【課標(biāo)要求】【核心掃描】 對不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量做統(tǒng)計分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型．1．非線性回歸分析2．非線性回歸方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny..u＝c＋bv 曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝aebxc＝lnau＝lny..u＝c＋bx 續(xù)表u＝c＋bvu＝a＋bv 想一想：作兩個變量的散點圖的主要目的是________________________________________________．提示直觀了解兩個變量之間的關(guān)系 當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時，要借助于散點圖，與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問題得以解決．(1)確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報變量為y；(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；名師點睛1．可線性化的回歸分析2．解決非線性回歸問題的方法及步驟 (3)變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)等來判斷擬合效果；(5)寫出非線性回歸方程． 在大量的實際問題中，研究的兩個變量不一定都呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系等．在某些情況下可以借助于線性回歸模型研究呈現(xiàn)非線性關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系．我們往往將兩個非線性的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性的變量關(guān)系．例如，將冪函數(shù)曲線y＝axb轉(zhuǎn)化為u＝c＋bv.其中u＝lny，v＝lnx，c＝lna；將指數(shù)曲線y＝aebx轉(zhuǎn)化為u＝c＋bx.其中u＝lny，c＝lna.3．非線性變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性變量關(guān)系 (1)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(2)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝a＋bx)．(3)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)．(4)得出結(jié)果后分析是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．4．建立回歸模型的基本步驟 有一位同學(xué)家里開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：題型一　線性回歸分析【例1】氣溫x/℃－504712151923273136熱茶銷售杯數(shù)y/杯15615013212813011610489937654(1)求熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x的線性回歸方程；(2)預(yù)測氣溫為－10℃時熱茶的銷售杯數(shù)． [思路探索]根據(jù)樣本點數(shù)據(jù)畫出散點圖．利用散點圖直觀分析熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用線性回歸方程中參數(shù)的計算公式可得線性回歸方程．解(1)所給數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示． 由圖可看出，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸方程來刻畫y與x之間的關(guān)系．因為＝，＝，由公式計算得b≈－2.352，a＝－b≈147.767，所以y對x的線性回歸方程為y＝147.767－2.352x.(2)對于氣溫－10℃，由回歸方程可以預(yù)報熱茶的銷售杯數(shù)為y＝147.767－2.352×(－10)＝171.287≈171(杯)． 規(guī)律方法進(jìn)行線性回歸分析的關(guān)鍵是畫出樣本點的散點圖，確定出變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出回歸直線方程．如果x，y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計意義，就可以用線性回歸方程來作預(yù)測和控制．預(yù)測是指對于x的取值范圍內(nèi)任一個x0，y取相應(yīng)值y0的估計；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi)． 為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關(guān)系，某地區(qū)觀察了2006年至2011年的情況，得到了下面的數(shù)據(jù)：【訓(xùn)練1】年份200620072008200920102011x/℃24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1)對變量x，y進(jìn)行相關(guān)性檢驗；(2)據(jù)氣象預(yù)測，該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27℃，試估計2012年4月化蛹高峰日為哪天． 解　制表. 題型二　可線性化的回歸分析【例2】(12分)在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于表中：催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y/(g·min－1)6830277020565350審題指導(dǎo)解答本題可先畫出散點圖，再選擇適宜的回歸方程求解． 【解題流程】 [規(guī)范解答]根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)y＝c1ec2x的周圍，其中c1和c2是待定的參數(shù)．令z＝lny，則z＝lny＝lnc1＋c2x，即變換后的樣本點應(yīng)該分布在直線z＝a＋bx(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．(2分) (4分)由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858(6分) 作出z與x的散點圖(如圖)．(8分) 由散點圖可觀察到，變換后的樣本點分布在一條直線的附近，所以可用線性回歸方程來擬合．由z與x的數(shù)據(jù)表，可得線性回歸方程：z＝0.848＋0.81x，所以y與x之間的非線性回歸方程為：y＝e－0.848＋0.81x.(12分)【題后反思】可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，選擇跟散點擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合． 電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后開始放電，由經(jīng)驗知道，此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表：【訓(xùn)練2】t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對時間t的回歸方程．(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題) 對U＝Aebt兩邊取對數(shù)得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，則y＝a＋bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖，如下圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得＝5，≈3.045，進(jìn)而可以求得b≈－0.313，a＝－b＝4.61，所以y對x的線性回歸方程為y＝4.61－0.313x.x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6解 由y＝lnU，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x，因此電壓U對時間t的回歸方程為U＝e4.61·e－0.313x. 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：試建立y與x之間的回歸方程．誤區(qū)警示　沒有判斷兩變量的相關(guān)性而致錯【示例】x0.250.5124y1612521 [錯解]由已知條件制下表：序號xiyixiyixy10.251640.062525620.51260.2514431551254224445414161∑7.75362321.3125430 t4210.50.25y1612521 由散點圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．列表如下：序號tiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430 求回歸方程，應(yīng)注意首先對樣本點是否線性相關(guān)進(jìn)行檢驗，因為對于任何一組樣本點，都可以根據(jù)最小二乘法求得一個線性回歸方程，但這條線性回歸方程是否較好地反映了樣本點的分布呢，顯然不一定，特別是對于不呈線性相關(guān)的回歸模型．可以通過散點圖或求相關(guān)系數(shù)r首先作出是否線性相關(guān)的檢驗，然后再選擇恰當(dāng)?shù)幕貧w模型進(jìn)行模擬．