第8講 矩陣的直積及其應(yīng)用

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1、第8講矩陣的直積及其應(yīng)用內(nèi)容：1.矩陣直積的定義與性質(zhì)2.矩陣直積在解矩陣方程中的應(yīng)用矩陣直積（Kronecker積）在矩陣論及系統(tǒng)控制等工程研究領(lǐng)域有十分重要的應(yīng)用．運(yùn)用矩陣直積運(yùn)算，能夠?qū)⒕€性矩陣方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組．§1矩陣直積的定義與性質(zhì)1.1矩陣直積定義1.1設(shè)，，稱如下的分塊矩陣為與的直積（Krionecker積，張量積），記為．是一個(gè)個(gè)塊的分塊矩陣，簡(jiǎn)寫(xiě)為．顯然與為同階矩陣，但一般，即矩陣的直積不滿足交換律.對(duì)單位矩陣，有.例1.1設(shè)，，則，.定義1.2若，則，稱為向量與的外積.1.2矩陣直積的性質(zhì)定理1.1矩陣的

2、直積具有如下基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）若則，若，，則；（7）若，均可逆，則可逆，且；（8）若和都是對(duì)角矩陣、上（下）三角矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、Hermite矩陣、正交矩陣、酉矩陣，則也分別是這種類(lèi)型的矩陣.定義1.3二元復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式為，若矩陣，，則階矩陣，其中，.定理1.2設(shè)，，的特征值為，的特征值為，則的全體特征值為，．證明由Schur定理知存在酉矩陣使得，，其中，為上三角矩陣，由定理1.1知，為酉矩陣，為上三角矩陣，則也是上三角矩陣.且與有相同的特征值.則的對(duì)角元即為的全部特征值.因?yàn)?，．因此，的?duì)角

3、元為，．推論1.1設(shè)的特征值為，的特征值為，則（1）的特征值為，；（2）的個(gè)特征值為，，；（3）；（4）.定理1.3設(shè)，則．證明記，，有相應(yīng)階數(shù)的可逆矩陣使得，則，由，可逆，則．§2矩陣直積在解矩陣方程中的應(yīng)用2.1矩陣的拉直定義2.1設(shè)，，，令，稱為矩陣的列拉直．矩陣也可以按行拉直為行向量，記作，有,．定理2.1設(shè)，則．證明記，則，而故．推論2.1設(shè)，則（1）；（2）；（3）2.2線性矩陣方程在系統(tǒng)控制等工程領(lǐng)域，經(jīng)常遇到矩陣方程（Lyapunov型方程）的求解問(wèn)題，其中，，為已知常數(shù)矩陣，為未知矩陣.利用矩陣的直積和拉直，可以給

4、出線性矩陣方程的可解性及解法.一般的線性矩陣方程可表示為，其中為已知常數(shù)矩陣，未知矩陣.定理2.2線性矩陣方程有解的充分必要條件是，其中，，為已知常數(shù)矩陣，未知矩陣.證明有解，有解有解，有解定理2.3設(shè)的特征值為，的特征值為，則矩陣方程有唯一解的充要條件是，，其中，，為已知常數(shù)矩陣，為未矩陣．證明有唯一解，有唯一解有唯一解的特征值不為零推論2.1設(shè)的特征值為，的特征值為，則矩陣方程有非零解的充分必要條件是存在與，使，．推論2.2設(shè)，則矩陣方程有唯一解的充分必要條件是時(shí)必有，其中為的譜，為的共軛復(fù)數(shù).定理2.4設(shè)的特征值為，的特征值為

5、，則矩陣方程有唯一解的充分必要條件是，．其中為已知常數(shù)矩陣，為未知矩陣．定理2.5若矩陣方程中矩陣的所有特征值具有負(fù)實(shí)部（稱這類(lèi)矩陣為穩(wěn)定矩陣），則該矩陣方程有唯一解，其中，，為已知常數(shù)矩陣，為未知矩陣．證明設(shè)的特征值為，存在可逆矩陣，使，其中，取0或1．則，這里，為單位上三角矩陣，它的非零元素的形式為.設(shè)的特征值為，類(lèi)似可得出，存在可逆矩陣，，其中，為單位上三角矩陣，它的非零元素的形式為．因的右端乘積矩陣的元素都是因子的關(guān)于的多項(xiàng)式倍數(shù)的組合，且積分存在．令，則，．兩邊求積分，可得，即．也就是的解，因積分存在，且的所有特征值實(shí)部為

6、負(fù)，則，．唯一性可由定理2.3得出.推論2.3設(shè)的特征值滿足，則方程的唯一解為．如果為Hermite正定矩陣，則解矩陣也是Hermite正定矩陣．證明只需證明后一結(jié)論即可.當(dāng)時(shí)，有．且對(duì)，由于可逆，則，于是當(dāng)正定時(shí)，有，從而有，故為正定矩陣．