利用幾何知識求函數(shù)最值

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1、丁長青編1.數(shù)形結(jié)合法1.1利用數(shù)軸上的截距解函數(shù)最值截距是指函數(shù)與所有坐標軸交點的坐標之差,可取正數(shù)也可取負數(shù)或0.求形如的函數(shù)最值,可以把當作是變量,即令,方程一般表示一條曲線,則可以當作是的直線在縱坐標軸上的截距,因此截距的最值也即是函數(shù)的最值.例1已知數(shù)滿足,求的最值.解令則因為的圓心為,以及它到直線的距離為,所以,可得.于是例2求函數(shù)的最值.解令有又因此可看成是直線系和橢圓在第一象限相交直線在軸上的截距（如圖所示）,可得11圖1例3求函數(shù)的最值.解設整理可得.（1）因此,可看出方程（1）表示平面上的一個半圓且它與軸在與處相交.圖2進一步原函數(shù)可以寫成,（2）方

2、程（2）表示平面上斜率為-1的直線系,表示此直線系在u軸上的截距,通過計算可得函數(shù)與半圓相切的直線在軸上的最大截距為7,即11而過直線在軸上的最小截距為即1.2利用兩點間的距離公式解函數(shù)最值兩點間的距離公式分為平面和空間兩種形式,在平面內(nèi)設則在空間中,可設則例4求函數(shù)的最小值.解如圖所示.圖3由于,且是點到點的距離之和,關于軸的對稱點為,因此.故.11例5已知:如圖所示,點分別在棱長為1的正方形的對角線和棱上運動,求兩點間的距離的最小值.解根據(jù)幾何知識中空間相異的兩條直線間公垂線最短可知:圖4當為公垂線段的兩端點時,兩點之間的距離是最小的,又因為直線和的公垂線為兩者中點

3、的連線.從而,根據(jù)圖形可知為為因此例6求函數(shù)的最小值，并求出此時的值.解將已知函數(shù)進行整理可得上式表明是點到點的距離之和（如下圖所示），圖5要求其最小值，只需在軸上找到一點，使得到,11的之間距離之和達到最小即可.通過進一步的求解,有.并且,可得直線的方程,令,通過求解可得，因此此當時，注1空間兩點間的距離是平面兩點間距離的推廣,其應用廣泛,應熟練掌握.1.3構(gòu)造法1.3.1利用直線的斜率構(gòu)造根據(jù)一些題中給出的代數(shù)式可聯(lián)想到平面幾何中兩點坐標求直線斜率的公式,設兩點所確定的直線斜率為,則例7求函數(shù)的最值.解根據(jù)題中形式可知,此問題可轉(zhuǎn)化為兩點與所確定的直線斜率的最值問題

4、.由于,可知點在以圓心,1為半徑的圓周上.（如圖所示）圖6設經(jīng)過點的直線方程為11代入有根據(jù)可知因此1.3.2利用直線與圓的位置關系構(gòu)造在一般情況下,直線和圓的位置關系有三種：相交,相離或相切.通過二者之間的位置關系可以求解函數(shù)的最值.例8求函數(shù)的最值.解令可知且因此,(1),(2)這表明式是與直線平行的一個平行線系.從而,問題轉(zhuǎn)化成為平行線系和圓相交的直線中,在軸上的截距最大和最小者,通過下圖可知,經(jīng)過與的直線在軸上可以取得最小與最大值,將兩點分別代入式可得1.3.3利用矩形的特性構(gòu)造例9已知:,,求的最小值.11解由于,構(gòu)造邊長為的正方形,并將一組鄰邊中的一條分成部

5、分,長度分別為,另一條為,如下圖所示.圖7可得,即,根據(jù)上式可知,當且僅當時,函數(shù)取到最小值.1.3.4利用立方體特性構(gòu)造例10已知均為銳角且求的最小值.圖8解設長方體的長、寬、高分別為,可知11,,,因此(當時取等號).上式表明,當且僅當時,2.向量法在學習向量的過程中由可知,有以下幾個結(jié)論：1)當與同向時取等號;2),當與平行時等號成立;3)當與平行時等號成立;4)當與反向且時左邊不等式取等號,當與同向時右邊不等式取等號;5)當與同向且時左邊不等式取等號,當與反向時右邊不等式取等號.以上這些結(jié)論都是用向量不等式求函數(shù)最值的依據(jù).例12求函數(shù)的最小值.方法1通過上式可

6、聯(lián)想到兩點間的距離公式,然后由三點共線距離最短求出最小值,為此構(gòu)造三個點.解設,則原問題可轉(zhuǎn)化為在軸上求一點,使的和最小.設點關于軸的對稱點為,根據(jù)對稱性可知11當且僅當三點共線時等號成立.此時.因此,函數(shù)的最小值為.方法2函數(shù)式的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出兩個向量模的形式,一次構(gòu)造兩個向量,并使它們的和的模恰為定值,為使用向量不等式創(chuàng)造了必要的條件.解設,則由于則當與同向,即時,不等式取等號.從而函數(shù)的最小值為注3方法1是通過構(gòu)造兩點間的距離公式,利用幾何意義來解決.方法2是利用構(gòu)造向量,通過向量不等式來解決.兩種方法各有千秋,尤其是利用向量不等式的方法,較為新穎、明快.此例說明了通

7、過巧妙的利用向量可以解決某些無理函數(shù)的最值問題.例13已知是正實數(shù),是正常數(shù),且求的最大值.解構(gòu)造向量11,則,因此（*）又所以.(**)同樣當且僅當.有（*）（**）聯(lián)立可得.因此,當例14設,且,如果恒成立,求的最大值.解設,則11根據(jù)上式化簡得(1)當且僅當,且,同向時,即時,上式等號成立.又已知不等式（1）恒成立所以,即.注4利用向量內(nèi)積求函數(shù)最值的問題，關鍵是要找到題目的結(jié)構(gòu)特征,并由此構(gòu)造出兩個適當?shù)南蛄?在構(gòu)造向量時,應考慮到向量模和內(nèi)積這三個量,必須有兩個向量是確定的量，另一個正好是所要求的函數(shù)式,從而直接求出函數(shù)的最值.