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1、功率譜估計性能分析及Matlab仿真1引言隨機信號在時域上是無限長的，在測量樣本上也是無窮多的，因此隨機信號的能量是無限的，應(yīng)該用功率信號來描述。然而，功率信號不滿足傅里葉變換的狄里克雷絕對可積的條件，因此嚴(yán)格意義上隨機信號的傅里葉變換是不存在的。因此，要實現(xiàn)隨機信號的頻域分析，不能簡單從頻譜的概念出發(fā)進(jìn)行研究，而是功率譜[1]。信號的功率譜密度描述隨機信號的功率在頻域隨頻率的分布。利用給定的個樣本數(shù)據(jù)估計一個平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度叫做譜估計。譜估計方法分為兩大類：經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計。經(jīng)典功率譜估計如周期圖法、自相關(guān)法等，其主要缺陷是描述功率譜波動
2、的數(shù)字特征方差性能較差，頻率分辨率低。方差性能差的原因是無法獲得按功率譜密度定義中求均值和求極限的運算[2]。分辨率低的原因是在周期圖法中，假定延遲窗以外的自相關(guān)函數(shù)全為0。這是不符合實際情況的，因而產(chǎn)生了較差的頻率分辨率。而現(xiàn)代譜估計的目標(biāo)都是旨在改善譜估計的分辨率，如自相關(guān)法和Burg法等。2經(jīng)典功率譜估計經(jīng)典功率譜估計是截取較長的數(shù)據(jù)鏈中的一段作為工作區(qū)，而工作區(qū)之外的數(shù)據(jù)假設(shè)為0，這樣就相當(dāng)將數(shù)據(jù)加一窗函數(shù)，根據(jù)截取的個樣本數(shù)據(jù)估計出其功率譜[1]。2.1周期圖法(Periodogram)Schuster首先提出周期圖法。周期圖法是根據(jù)各態(tài)歷經(jīng)的
3、隨機過程功率譜的定義進(jìn)行的譜估計。取平穩(wěn)隨機信號的有限個觀察值，求出其傅里葉變換然后進(jìn)行譜估計19周期圖法應(yīng)用比較廣泛，主要是由于它與序列的頻譜有直接的對應(yīng)關(guān)系，并且可以采用FFT快速算法來計算。但是，這種方法需要對無限長的平穩(wěn)隨機序列進(jìn)行截斷，相當(dāng)于對其加矩形窗，使之成為有限長數(shù)據(jù)。同時，這也意味著對自相關(guān)函數(shù)加三角窗，使功率譜與窗函數(shù)卷積，從而產(chǎn)生頻譜泄露，容易使弱信號的主瓣被強信號的旁瓣所淹沒，造成頻譜的模糊和失真，使得譜分辨率較低[1]。該方法基于Matlab實現(xiàn)的程序：clearall;loadtestx;N=4096;Fn=-0.5:1/N:
4、0.5-1/N;px=fft(x,N);pmax=max(px);%歸一化px=px/pmax;px=10*log10(px+0.000001);plot(Fn,fftshift(px));gridon;圖1周期圖法19圖2周期圖法說明：(1)本報告仿真中所采用的用于功率譜估計的數(shù)據(jù)文件來自參考文獻(xiàn)[3]的test.dat。該數(shù)據(jù)為128點復(fù)序列（圖3），由復(fù)數(shù)噪聲加上四個復(fù)正弦組成。其歸一化頻率分別是：。圖3復(fù)序列(2)從仿真圖可以清晰看到，和不能完全分開，僅在波形的頂部能看出19是兩個頻率分量；此外，當(dāng)數(shù)據(jù)長度太大時（圖1），譜曲線呈現(xiàn)較大的起伏；當(dāng)
5、數(shù)據(jù)長度太小時（圖2），譜的分辨率又不好。據(jù)此，周期圖法不滿足一致性估計條件。2.2自相關(guān)法(BT法)自相關(guān)法的理論基礎(chǔ)是維納—辛欽定理。1958年Blackman和Tukey給出了這一方法的具體實現(xiàn)。對于平穩(wěn)隨機信號來說，其自相關(guān)函數(shù)是確定性函數(shù)，故其功率譜也是確定的。這樣可由平穩(wěn)隨機離散信號的有限個離散值求出自相關(guān)函數(shù)然后在內(nèi)對做傅里葉變換，得到功率譜該方法基于Matlab實現(xiàn)的程序：clearall;loadtestx;N=4096;Fn=-0.5:1/N:0.5-1/N;Mlag=64;rx=xcorr(x,Mlag,'unbiased');px
6、=fft(rx,N);pmax=max(px);%歸一化px=px/pmax;px=10*log10(px+0.000001);plot(Fn,fftshift(px));gridon;19圖4自相關(guān)法不加窗圖5自相關(guān)法不加窗19圖6自相關(guān)法使用漢明窗(Hamming)說明：(1)該方法先由序列估計出自相關(guān)函數(shù)，然后對進(jìn)行傅里葉變換，便得到的功率譜估計。當(dāng)延遲與數(shù)據(jù)長度之比很小時，可以有良好的估計精度。(2)圖4是用自相關(guān)法（BT法）求出的功率譜，沒有加窗；圖5也是用自相關(guān)法（BT法）求出的功率譜，，沒有加窗；圖6同樣是采用自相關(guān)法求出的功率譜，，使用了
7、漢明窗。顯然，自相關(guān)函數(shù)的延遲越小，譜變得越平滑。2.3Welch法該方法的基本原理是在對隨機序列分段時，使每一段有部分重疊，然后對每一段數(shù)據(jù)用一個合適的窗函數(shù)進(jìn)行平滑處理，最后對各段譜求平均。這樣可得功率譜其中19這里為窗函數(shù)。該方法基于Matlab實現(xiàn)的程序：clearall;loadtestx;N=4096;Fn=-0.5:1/N:0.5-1/N;xpsd=pwelch(x,hamming(33),16,N,'whole');mmax=max(xpsd);%歸一化xpsd=xpsd/mmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001)
8、;plot(Fn,fftshift(xpsd));gridon;圖7Welch法
