129移項得到式中，左邊為一常數(shù)，右邊含有變量，對任何值都要使上式成立，只有使兩邊都等于零，即由（4）式得將（6）式代入（5）式得
130即解此二次方程，得到將此代入（6）式，即有
131分析這里解的形式，可知b=a不符合物理要求，由于此時Q'在球外空間，改變了原方程，故b=a及Q'=±Q應(yīng)該舍去。又由于（2）式的要求，不符合要求。至此只有解
132才是符合要求的解。因此，球外空間任一點的電勢為▲球面上的感應(yīng)電荷面密度：
133▲總感應(yīng)電荷為即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q'的大小?！部梢赃@樣證明：根據(jù)Gauss定理，對球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'
134式中的是象電荷Q'和真實電荷Q共同產(chǎn)生的，即故Q感=Q'即感應(yīng)電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q'。
135▲根據(jù)上述例子，作如下幾點討論：a)導(dǎo)體球既不接地又不帶電這種情況與[例3]的差別僅在于邊界條件，這里導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件顯然，[例3]的解（8）式不滿足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個象電荷，則滿足電中性條
136件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對稱性知道，Q"必須放在球心處，于是再由
137得到b)導(dǎo)體球不帶電其電勢的U0這種情況與[例3]的差別仍然在邊界條件，這里U0是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢為U0，相當于在球心處放置了電量為的點電荷，顯然，其解為
138由得到c)若點電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處這時與[例3]的情況相比，僅是源電荷的位置由球
139外搬進到球內(nèi)。此時，接地球殼外無場強，場的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來解釋：球內(nèi)的電勢等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）—象電荷Q'（在球外處）產(chǎn)生的電勢：這里要注意：象電荷的電量Q'大于源電荷的電量Q，球內(nèi)的電勢與導(dǎo)體球是否接地、是否帶電無關(guān)。
140d)若導(dǎo)體球帶電q但不接地這種情況的物理模型為：則球心有電荷（q-Q')，則P點的電勢為RobQ'aQxrr'Pq-Q'
141由得到
142▲順便計算導(dǎo)體對點電荷Q的作用力：此時，源電荷Q所受到的作用力來自球面上的電荷，即從而得到
143▲當a>>R0，，即近似為兩點電荷作用，作用力為排斥力；▲當Q靠近球面時，，此時不論q與Q是否同號，作用力永遠為引力，這可由在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號來解釋。
144ooaaQ'Q'QQ點電荷Q在球內(nèi)點電荷Q在球外bb▲鏡象法與光路圖比較
145[例4]均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢由于靜電屏蔽，場區(qū)域只能在球外。Solution:本題的物理圖象是在原有的均勻電場中放置一中性導(dǎo)體球。此時導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化，如圖所示。由此可見，球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。R0------++++++
146第一步：用兩個點電荷±Q激發(fā)一均勻場點電荷±Q放在對稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標原點附近的區(qū)域內(nèi)。第二步：將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中+Q-Qzaao
147這樣一來，±Q相當于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來代替它，即此時+Q在球面上感應(yīng)的電量為，-Q在球面上感應(yīng)電量為，這仍然保持導(dǎo)體球為電中性（不管導(dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的+Q-QzaaR0bbo
148電勢就是這四個點電荷分別在某點產(chǎn)生的電勢的迭加，即因為a>>R，則選略去和
149即又因為皆為小量，應(yīng)用展開式
150則有
151令則的第一項恰好等于一個原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極矩為的電偶極子的電勢。（3）界面為柱面的情況[例5]有一線電荷要密度為η的無限長帶電直線與半徑為R0的接地無限長導(dǎo)體園柱軸線平行。直線與園柱軸
152線的距離為a(a>R0),試求空間的電勢分布。Solution:由于導(dǎo)體柱面把整個空間分成柱內(nèi)、柱外兩個區(qū)域，而柱內(nèi)有，柱外區(qū)域電勢滿足定解條件：yaaηxηR0R0
153處于帶電直線的電場中的導(dǎo)體園柱，其柱面上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷，空間任一點的電勢就是帶電線和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電勢的迭加?，F(xiàn)在，假定導(dǎo)體園柱面的感應(yīng)電荷密度為，到軸線的距離為b，由于原帶電直線不僅帶電（均勻）而且是無限長的，導(dǎo)體園柱也是無限長的，故垂直于柱軸的任何平面上的電勢分布是完全相同的，即是一個二維場，因此可取一個垂直于柱軸的平面來討論
154即若取oa連線與圓柱面的交點為電勢參考點。則園柱外空間任一點的電勢為Robλ'aηxrr'P(x,y)θR0
155其中由（2）式得
156即要使該等式成立，必有由（4）式，即有
157比較兩邊系數(shù)，即由（6）式得化簡（7）式得到：解這下一元二次方程得到
158其中b1=a不符合物理要求。故有：因而柱面外任一點的勢為
159（4）界面為劈形的情況[例6]有兩個相交的接地導(dǎo)體平面，其夾角為，若在所夾區(qū)域內(nèi)有一電量為Q的點電荷，求下列情況下所夾區(qū)域內(nèi)的電勢：
160Solution:從上面的例子可以看出，用鏡象法處理問題時，只要象電荷都放在所考慮的區(qū)域之外，就不會改變電勢在該區(qū)域內(nèi)所滿足的泊松方程。故檢驗解是否正確的關(guān)鍵是看它能否滿足全部邊界條件。Q
161▲下面按夾角不同情況分別討論其電勢分布情況。a、APB-QQ-QQorr1r2Rr3132
162所考慮的區(qū)域內(nèi)，勢滿足定解條件。為了使A板的電勢為零，應(yīng)在以A板為對稱面，將A板上的感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對稱的位置“1”處，要使B板的電勢為零，應(yīng)以B板為對稱面，將B板上的感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對稱的位置“2”處，而且還需在“1”相對于B板的對稱位置“3”處放置+Q的象電荷，才能保證，不難看出，此時也滿足于是所考慮區(qū)域內(nèi)任一點
163的電勢為b、BAQ+Q+Q-Q-Q-Q12345
164要保證上則必須有5個象電荷，其位置，大小和符號如圖示，于是所求區(qū)域內(nèi)電勢為c、BAQ+Q+Q-Q-Q-Q123452-Q+Q
165要保證則必須有7個象電荷，故電勢為一般說明：只要滿足偶數(shù)的情形，都可用鏡象法求解，此時象電荷的個數(shù)等于，加上原來的電荷總共有個，這些點電荷都在過原點電荷與兩導(dǎo)體面的交線垂直面內(nèi)。而且都在此垂面與交線的交點為圓心，交點到原點電荷處的距離為半徑的圓周上。若不滿足該條件，則象電荷在所求區(qū)域內(nèi)，改變了原方程，否掉。
166§2.5格林函數(shù)法MethodofGreenfunction
167本節(jié)要介紹的是一種用Green定理來求解靜電邊值問題的方法。即給定區(qū)域V內(nèi)電荷分布，和區(qū)域V的邊界面S上各點的電勢或電勢法向?qū)?shù)，求區(qū)域V內(nèi)各點的電勢值。如果邊界條件是給定S上的電勢，這類邊值問題稱為第一類邊值問題，也稱狄利克萊邊值問題；如果邊值（界）條件是給定S上的，這類邊值問題稱為第三類邊值問題，也稱諾埃曼邊值問題。
168在這里，我們將要討論這些邊值問題是怎樣借助于有關(guān)點電荷的較簡單的邊值問題而得到解決的。1、點電荷密度的函數(shù)表示因為點電荷分布的特點是在點電荷所在處的電荷密度變?yōu)闊o窮大，而在其他地方電荷密度為零。若在處有一點電荷Q，則電荷密度可寫為顯然
169對于單位點電荷而言，Q=1，其密度為2、Green函數(shù)一個處在點上的單位點電荷，它所激發(fā)的電勢方程為假設(shè)有一包含點的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上有如下邊界條件
170則把滿足邊界條件（4）式的（3）式的解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類或第二類邊值問題的Green函數(shù)。Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點，在（3）式和（4）式中，把換成G，即Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為3、Green公式和邊值問題的解
171在這里，將用Green公式把一般Poisson方程的邊值問題的解用Green函數(shù)聯(lián)系起來。（1）先看Green公式的兩種形式根據(jù)Gauss定理，知道當均為連續(xù)，可微的標量點函數(shù)，故
172又于是，有式中V為包圍面S所圍的面積，該式稱為Green第一公式。如果上式中的對調(diào)，即，同理得到
173將（6）式減去（7）式，得該式稱為Green第二公式Green第一、第二公式是等價的。同時，視方便而選取之。Green公式對解靜電問題的意義是：在區(qū)域V內(nèi)找一個待定函數(shù)（為待求），通過這個公式從已知確定未知。（2）邊值問題的解給定一個區(qū)域V，其中給定了
174且待求的邊值問題：相應(yīng)的Green函數(shù)問題是：邊界條件：現(xiàn)在，取滿足V給定了S
175取滿足代入Green第二公式，有因為Green公式中積分，微分都是對變量進行的，由于Green函數(shù)關(guān)于源點和場點是對稱的，即，為方便起見，把變量換為，故有改為，即得
176該式左邊第二項為得到
177故得到這就是用Green函數(shù)求解靜電問題的一種形式解。討論幾點：a)在區(qū)域V中，任一點的勢唯一地決定電荷分布及邊界的值
178b)如果所取的Green函數(shù)屬于第一類問題，即這時則有這實質(zhì)上就是第一類邊值問題的解c)如果所取的Green函數(shù)屬于第二類問題，即在這里要說明一點的是：對第二類靜電邊值問題不能用第二類齊次邊界的Green函數(shù)，即，因
179為Green函數(shù)所代表的物理意義是在處存在一個單位電荷在空間所激發(fā)的電勢。因此即代表單位電荷在邊界上所激發(fā)的電場，由Gauss定理知道由此可見故
180從而，Green函數(shù)在邊界上的最簡單的形式是取這樣且有第二類靜電邊值問題的Green函數(shù)解的形式：式中為在邊界面S上的平均值。
181在實際問題中，常遇到這類問題：在所考察的區(qū)域包含有無窮大的邊界面，假如，考察一導(dǎo)體球外的空間電勢分布問題，這時所考察的區(qū)域是球面和無窮大曲面間包圍的區(qū)域，所以這時邊界面S→∞故有于是故得到
182此式稱為外問題的Green函數(shù)解的形式。4、Green函數(shù)的制作以上的討論，表面上制裁似乎把靜電邊值問題的解找到了，其實并作為此，因為只有把問題的Green函數(shù)找到了，才能對表達式（第一類邊值問題的形式解和第二類邊值問題的形式解）作出具體的計算。實際求Green函數(shù)本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意義。當然，它把唯一性定理更具體地表達出來了。在這里介紹幾種不同區(qū)域的Green函數(shù)的制作方法。
183（1）無界空間的Green函數(shù)即在無窮大空間中放一個單位點電荷，求空間某處的電勢，也就是Green函數(shù)。其中，代表單位電荷的所在位置（源點坐標），代表觀察點坐標（場點坐標）?，F(xiàn)在，證明上述Green函數(shù)是否滿足Green函數(shù)所滿足的微分方程。證明：選電荷所在處為坐標原點，即，在球坐
184標系中考慮球?qū)ΨQ性，得到而當r=0時，取一小球面S包圍著原點，取對小球體積V積分，即
185從函數(shù)性質(zhì)可知，保持小體積V的面積為1，從而有故得到
186與微分方程比較，即有這里把與互換，不變，即有這就說明Green函數(shù)具有對稱性。（2）上半空間的Green函數(shù)即在接地導(dǎo)體平面的上半空間，由于，屬于第一類邊值問題。
187根據(jù)鏡象法得到：yzor2r1
188這也可看到（3）球外空間的Green函數(shù)即在接地導(dǎo)體示外的空間，由，屬于第一類邊值問題。yzxRR'R0r'αθθ'o
189其中：根據(jù)鏡象法得
190在制作Green函數(shù)時，必須注意：求Green函數(shù)本身不是很容易的，只有當區(qū)域具有簡單幾何形狀時才能得出解析的解，如果時，Green函數(shù)法也可以用來解Laplaceequation的邊值問題。5、Green函數(shù)法的應(yīng)用舉例[例]在無窮大導(dǎo)體平面上有半徑為a的園，園內(nèi)和園外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣,設(shè)園內(nèi)電勢為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢為零，求上半空間的電勢。
191Solution:靜電問題：axyzRP(ρ,φ,z)P'(ρ',φ',z')V0
192此題Green函數(shù)滿足的形式為相當于無窮大金屬平板旁邊放置單位電荷求電勢問題
193其Green函數(shù)為其中：換為柱坐標，且有故Green函數(shù)為
194又∵電荷密度，還有故得到因為積分面S是z'=0的無窮大平面，法線沿-z'方向，而
195由于S上只有園內(nèi)部分電勢不為零，因此式子中的積分只需對r≤a積分，即可。
196故在很遠處，(R2+z2>>a2)的電勢可以展開成冪級數(shù)，積分的被積函數(shù)分母展開
197其中注意到cos(φ-φ')對φ'一個或數(shù)個2π周期的積分為零，故
198§2.6電多極矩Electricmultipolemoment
199本節(jié)所要討論的問題是：在真空中，假若激發(fā)電場的電荷全部集中在一個很小的區(qū)域（如原子、原子核內(nèi)），而要求的又是空間距場源較遠的場，這時可以采用多極矩近似法來解決問題。1、多極矩的概念對于帶電體系而言，若電荷分布在有限區(qū)域V內(nèi)，在V中任取一點o作為坐標原點，區(qū)域V的線度為l，場點P距o點為R。多極矩法是討論R>>l情況下的場分布問題。
200以一個最簡單的例子來說明：假設(shè)V中有一個點電荷Q，位于（a,o,o）點上，如果對遠處產(chǎn)生的電勢來說，相當于xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-QxyzoQ零級近似
201如果作為一級近似，且o=+o+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qxyz-Q-QQ+Q
202如果作二級近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一級近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q
203xyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQxyzoxyzo+-QQQa/2二級近似
204總之，移動一個點電荷到原點，對場點產(chǎn)生一個偶極子分布的誤差；移動一個偶極子到原點，對場點產(chǎn)生一個電四極子分布的誤差；移動一個電四極子到原點，對場點產(chǎn)生一個電八極子分布的誤差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+
2052、點電荷系的多極展開式假定V內(nèi)都是點電荷，其中第i個點電荷qi位于點A處，如圖所示。符合R>>l的條件，P點的電勢為zxPyAqjqiqkol
206因為令，則相對于原點，有
207其中表示在點o處的電荷的電勢；
208表示在點o處的電偶極矩的電勢；表示在點o處的電四極矩的電勢。各個包含cosθ的因式就是級數(shù)的勒讓德多項式Pn(cosθ)。實際上，通過這個多極子的展開式，P點的電勢可寫為
2093、連續(xù)分布電荷體系的多極子展開式若區(qū)域V內(nèi)電荷是連續(xù)分布的，且電勢為由于源點到場點的距離遠大于帶電區(qū)域V的線度，故可將對在原點附近作泰勒級數(shù)展開。zxPyVoρ
210在一元函數(shù)f(x)情況下，在原點x=0鄰域的泰勒級數(shù)為：如果在x=a鄰域展開，泰勒級數(shù)是：對于三元函數(shù)f(x,y,z)，在原點x=0,y=0,z=0鄰域的泰勒級數(shù)是：
211如果在x=a,y=b,z=c點鄰域展開，且展開式為
212有了以上泰勒級數(shù)展開式，把代替f(x)，因r是的函數(shù)，即。把場點固定不變。而讓源點變化，并把在原點o附近展開，且有
213因為
214
215所以從而得到令
216故得到討論展開式的每項物理意義：▲展開式的第一項：
217表示體系總電荷集中于原點的勢，它作為小區(qū)域帶電系在觀察點的勢的零級近似?！归_式的第二項：表示體系總偶極子集中于原點處，對場點產(chǎn)生的勢，它作為體系在觀察點的勢的一級近似。▲展開式的第三項：
218表示體系總四極矩集中于原點處，對場點產(chǎn)生的勢它作為體系在觀察點的勢的二級近似。綜上所述，展開式表明：一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠處激發(fā)的場等于一系列多極子在遠處激發(fā)的場的迭加。討論：（1）如果帶電體系的總電荷為零，計算電勢時必須考慮偶極子，只有對原點不對稱的電荷分布才有電偶極矩；如果帶電體系的總電荷為零，總電偶極矩也為零，計算電勢時必須考慮電四極矩。只有對原點不是球?qū)ΨQ的電荷分布才有電四極矩。
219（2）對電四極矩的進一步認識電偶極矩是一個張量，有9個分量，即也可以寫成其中i,j=1,2,3
220▲下面主要證明電四極矩的9個分量，只有5個分量是獨立的：a）因為，，。則的9個分量只有6個分量獨立。b)又因為即這里的為單位張量。
221現(xiàn)在，選擇一個量乘以故有將此式加到中去，并不改變的值，即
222重新定義：或者
223根據(jù)的重新定義式可以看到：
224即由此可見，張量的9個分量只有5個分量是獨立的。（3）幾種典型的多極矩產(chǎn)生的場a）分析：體系可看成小區(qū)域（R>>l），體系對原點而言是不對稱的，總電荷為零，故沒有零級近似。但是，zP(x,y,z)-q(o,o,-z′)oq(o,o,z′)lθRr-r+
225總偶極矩不為零，即則
226b）分析：體系為小區(qū)域（R>>l），體系內(nèi)總電荷為零，總偶極矩為零，故沒有零級近似和一級近似。由于電荷分布不具有球?qū)ΨQ性，可見有電四極矩存在。故有zP(x,y,z)-qolθRr-r+qq-qba
227這里即
228c)半軸為a,b,c橢球體內(nèi)均勻帶電，總荷為Q，求它相對于橢球中心的電偶極矩、電四極矩以及準確到二級近似的在遠處的電勢，并討論旋轉(zhuǎn)橢球(a=b)和球體(a=b=c)的情況。分析：體系總電荷為Q，其密度為，由于積分都是對橢球進行的，為此引入廣義球坐標變換：
229由其中雅可比行列式為
230
231故得體積元為▲對于廣義球坐標是從原點積分到橢球面上，應(yīng)決定于橢球面：即
232可見r'=1所以，對于r'積分區(qū)域：r':0→1.即是說，這個變換是把半軸為a,b,c的橢球變在單位球，于是積分區(qū)間為該電荷系統(tǒng)電偶極矩各分量為
233
234故，這說明均勻帶電橢球相對于原點的偶極矩為零?！鴮τ陔娝臉O矩，由于
235從而有其中
236故
237同理：
238另外：
239至此，根據(jù)電勢的表達式，即有
240當a=b時，是回轉(zhuǎn)橢球，此時x2+y2=R2-z2，則故當a=b=c時，是均勻帶電球體，此時
241故4、電荷體系在外電場中的能量設(shè)電荷系建立的電勢為，另一個電荷系建立的電勢為，分布于，分布于總電荷分布為總電場能量為
242顯然，該式意義為：第一、二項分別是.單獨存在時的能量，常稱為自作用能Wm；第三項表示兩電荷系間相互作用Wi能，因此電荷體系在外電場中的能量為
243因為所以
244交換積分次序，故得到該式即為電荷體系在外場中的能量。假設(shè)電荷系分布的區(qū)域V是外場中一個小區(qū)域，在其中外場的勢變化不大，取其中一點為坐標原點，則可對在原點附近作泰勒級數(shù)展開：則得
245其中：展開式第一項表示把體系電荷集中于原點時，一個點電荷在外場中的能量，作為零級近似的結(jié)果。展開式第二項：表示把體系的電偶極矩集中到原點時，一個電矩在外場中的能量，作為一級近似的結(jié)果。
246展開式的第三項：表示把體系的電四極矩集中到原點時，一個電四極矩在外場中的能量，作為二級近似的結(jié)果。綜上所述，一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在外場中的能量等于一系列多極子在外場中的能量之和。5、電偶極子在外場中所受到的力和力矩一個電偶極子在外場中的能量為
247若電偶極子相對外場有一平移或轉(zhuǎn)動，而偶極矩的大小和外場保持不變，則由平移或轉(zhuǎn)動引起的系統(tǒng)能量的變化也就等于相互作用能的變化，即若偶極矩平移，則從能量守恒得即利用而為常矢，即得
248同理，將偶極矩轉(zhuǎn)動一個，力矩作的功為故因為的大小不變，僅改變方向，故這樣，且有即得到
