排列組合公式排列組合計(jì)算公式

《排列組合公式排列組合計(jì)算公式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

排列組合公式/排列組合計(jì)算公式公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè),不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)！—階乘，如????9?。?*8＊7*6*5*4＊3*2＊1從N倒數(shù)r個(gè),表達(dá)式應(yīng)該為n＊(n-1)＊(n—2)。。(n-r+1）；???????????????因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n－（n-r+1）＝r舉例：Q1:????有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球,請(qǐng)問(wèn),可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1：????123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇.??????上問(wèn)題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988，997之類(lèi)的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能,十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9—1-1種可能,最終共有9*8＊7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式＝P(3，9)＝9*8*7，(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）Q2:???有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球,請(qǐng)問(wèn)，如果三個(gè)一組，代表“三國(guó)聯(lián)盟”,可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？A2:????213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可.即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。???????上問(wèn)題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C（3,9)=9*8*7/3*2＊1排列、組合的概念和公式典型例題分析　　例1　設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組．（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加．各有多少種不同方法？????解（1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法．

1?????。?）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法．　　點(diǎn)評(píng)??由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算．????例2排成一行,其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種?　　解??依題意,符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè),共3類(lèi),每一類(lèi)中不同排法可采用畫(huà)“樹(shù)圖”的方式逐一排出:　　　　∴符合題意的不同排法共有9種．　　點(diǎn)評(píng)??按照分“類(lèi)”的思路,本題應(yīng)用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹(shù)圖”是一種具有直觀(guān)形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型．　　例３　判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題?并計(jì)算出結(jié)果．　　（1）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑?，共通了多少封信？②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问?，共握了多少次?　　(2)高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法?　?。?）有2，3,5，7,11,13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①?gòu)闹腥稳蓚€(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積,可以得到多少個(gè)不同的積？　?。?）有8盆花：①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？　　分析?。?）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列;②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问郑着c乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題．其他類(lèi)似分析．　?。?）①是排列問(wèn)題，共用了封信;②是組合問(wèn)題,共需握手（次）．　　（2）①是排列問(wèn)題,共有（種)不同的選法；②是組合問(wèn)題，共有種不同的選法．　　（3）①是排列問(wèn)題，共有種不同的商；②是組合問(wèn)題,共有種不同的積．　　(4）①是排列問(wèn)題，共有種不同的選法;②是組合問(wèn)題，共有種不同的選法．　　例４　證明．　　證明　左式

2　　　　　　　　　　　　右式．　　　　　∴等式成立．　　點(diǎn)評(píng)　這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化．　　例5　化簡(jiǎn)．　　解法一　原式　　　　　　　　　　　　　　　解法二　原式　　點(diǎn)評(píng)??解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化．　　例6　解方程:（1）;（2）．　　解（1）原方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解得．　　　?。?）原方程可變?yōu)椤　　　　　?，，　　　　　∴原方程可化為．　　　　　即，解得第六??排列組合、二項(xiàng)式定理一、考綱要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2。理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

3二、知識(shí)結(jié)構(gòu)???????三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示（一)加法原理乘法原理說(shuō)明??加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問(wèn)題提供了理論根據(jù)。例1??5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種?解:??5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說(shuō)明??排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研究的對(duì)象以及研究問(wèn)題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象,解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查。例2??由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有(????)A。60個(gè)????????B.48個(gè)????????C。36個(gè)????????D.24個(gè)解??因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位數(shù)，萬(wàn)位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13；在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P12＝36(個(gè))由此可知此題應(yīng)選C.例3??將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字,則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解:??將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143，3142,4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法,因此共有填法為3P13=9(種）.

4例四　例五可能有問(wèn)題，等思考三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)說(shuō)明??歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn),主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查.例4??從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（????)A.140種??????B.84種??????C.70種???????D。35種解：??抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14·C25種;甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有C24·C15種根據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70（種）可知此題應(yīng)選C.例5??甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程,甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1項(xiàng),丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問(wèn)共有多少種承包方式?解:??甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式C38種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C38×C15×C24×C22=×1=1680（種).(四）二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)說(shuō)明??二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的正整數(shù)次冪的展開(kāi)法則，在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)知識(shí)，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式中通項(xiàng)公式等，題型主要為選擇題或填空題。例6??在(x—）10的展開(kāi)式中,x6的系數(shù)是(????）A。-27C610????????B.27C410????????C?！?C610????????D.9C410

5解??設(shè)（x—)10的展開(kāi)式中第γ+1項(xiàng)含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(—)γ，10-γ=6,γ=4于是展開(kāi)式中第5項(xiàng)含x6，第5項(xiàng)系數(shù)是C410(—）4=9C410故此題應(yīng)選D。例7????（x—1）-（x—1)2＋(x-1)3—(x-1)+(x—1)５的展開(kāi)式中的x２的系數(shù)等于????????????????解：此題可視為首項(xiàng)為x—1，公比為-(x—1）的等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和，則其和為在（x—1)6中含x3的項(xiàng)是C36x3(-1）3=-20x3,因此展開(kāi)式中x2的系數(shù)是—20.（五)綜合例題賞析例8??若(2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值為(????)A。1????????????????????????B。-1?????????????C.0???????????D.2解:A。例9??2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有(????)A。6種????????????B。12種??????????C。18種????????????D。24種解??分醫(yī)生的方法有P22＝2種，分護(hù)士方法有C24=6種，所以共有6×2＝12種不同的分配方法。應(yīng)選B.例10??從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái),則不同取法共有(????）。A。140種??????????B。84種??????????C。70種???????????D.35種解:取出的3臺(tái)電視機(jī)中，甲型電視機(jī)分為恰有一臺(tái)和恰有二臺(tái)兩種情形?！逤24·+C25·C14=5×6+10×4=70。

6∴應(yīng)選C。例11??某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有(????)A。27種??????B。48種??????C。21種???????D.24種解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類(lèi)：∵C13·C17+C23=3×7+3=24，∴應(yīng)選D。例12??由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(????).