立體幾何中探究性問題的歸納與解法探究

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立體幾何中探究性問題的歸納與解法探究高考中對立體幾何的考查主要以空間位置關(guān)系的判斷,空間角與距離的計(jì)算為主,而探究性問題是高考命題的熱點(diǎn),也是難點(diǎn),常在解答題的最后一問中出現(xiàn)。本文就立體幾何中的探索性問題進(jìn)行類型歸納和解法梳理,以期對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供幫助。題型一、平行關(guān)系中的探索性問題例1如圖1,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,在四邊形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4。圖1(1)求證:CD⊥平面PAC。(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)M(不包括端點(diǎn)),使得BM∥平面PAD?若存在,求的值;若不存在,說明理由。解析:(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD。在直角梯形ABCD中,AC=CD=,所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD。又因?yàn)镻A∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以CD⊥平面PAC。(2)不存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PAD。法一:(反證法)假設(shè)在棱PC上存在點(diǎn)M異于點(diǎn)C,P,使得BM∥平面PAD。因?yàn)锽C∥AD,且BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD。又因?yàn)锽C∩BM=B,所以平面PBC∥平面PAD。而平面PBC與平面PAD相交,所以假設(shè)不成立,故不存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PAD。

1圖2方法點(diǎn)睛:對于探索性問題,應(yīng)先假設(shè)其存在,然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證,如果通過推理論證得到了合乎情理的結(jié)論,就肯定假設(shè);如果得到矛盾,就否定假設(shè)。還可借助向量,引進(jìn)參數(shù),綜合已知和結(jié)論列出等式或不等式,解出參數(shù)的值或者范圍,看所得范圍或值是否在題意允許的范圍之內(nèi),進(jìn)而給出判斷結(jié)果。例2如圖3,已知正四棱錐S-ABCD的各條棱長都相等,且E,F分別是SD,SB的中點(diǎn)。

2圖3(1)求證:AC⊥SB。(2)在棱SC上是否存在點(diǎn)M,使得平面MBD∥平面AEF?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。解析:(1)如圖4,設(shè)AC∩BD=O,則O為底面正方形ABCD的中心,連接SO,因?yàn)镾-ABCD為正四棱錐,所以SO⊥平面ABCD,所以SO⊥AC。又BD⊥AC,且SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD。因?yàn)镾B?平面SBD,所以AC⊥SB。圖4(2)方法一:存在點(diǎn)M,設(shè)SO∩EF=G,連接AG,CG。取CG的中點(diǎn)H,連接OH并延長交SC于點(diǎn)M,因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),所以O(shè)H∥AG,即OM∥AG。又EF∥BD,OM,BD?平面AEF,AG,EF?平面AEF,所以O(shè)M∥平面AEF,BD∥平面AEF。又OM∩BD=O,OM,BD?平面MBD,所以平面MBD∥平面AEF。在△SOC中,作GN∥HM交SC于N,則N是SM的中點(diǎn),M是CN的中點(diǎn),所以=2。

3圖5方法點(diǎn)睛:(1)異面直線的垂直,應(yīng)轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明;(2)任何一對互相平行的平面,和第三個平面相交,則交線互相平行;(3)利用空間向量法,證明兩個平面平行,只需要論證兩個平面的法向量相同,在便于建立坐標(biāo)系的情況下,應(yīng)作為解題的首選方法,從而淡化推理,只需落實(shí)運(yùn)算即可。題型二、垂直關(guān)系中的探索性問題例3如圖6,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的邊長為2,側(cè)棱AA1=,D是AC的中點(diǎn)。圖6(1)求證:B1C∥平面A1BD。

4(2)在側(cè)棱AA1上是否存在一點(diǎn)E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的長;若不存在,請說明理由。解析:(1)連接AB1,交A1B于點(diǎn)M,連接MD。因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是正三棱柱,所以四邊形BAA1B1是矩形,所以M為AB1的中點(diǎn)。因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),所以CB1∥DM。又DM?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。圖7方法點(diǎn)睛:(1)空間位置關(guān)系的證明,一般采取逆推的形式,本題中若B1C∥平面A1BD,則由線面平行性質(zhì)定理可知,經(jīng)過B1C的平面B1CA與平面A1BD的交線DM與B1C平行,因此只需證明DM與B1C平行,這類似于分析法的執(zhí)果索因;(2)對于面面垂直的探索類問題,可以建系利用兩個平面的法向量的數(shù)量積為0,完成探究。例4如圖8,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)面PAD是等腰直角三角形,平面PAD⊥平面

5圖8ABCD,AD=2,AB=AP=,M為棱PC上的動點(diǎn)。(1)當(dāng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí),求的值;(2)在(1)的條件下,過A,D,M作截面交PB于點(diǎn)N,求四棱錐P-ADMN的體積。圖9圖10方法點(diǎn)睛:(1)面面垂直的性質(zhì)定理說明了垂線一定在垂面內(nèi),這是解決垂直的一個核心;(2)點(diǎn)M在棱PC上的位置是由點(diǎn)M到直線BD的距離最小確定的,這里隱藏了一個垂直探究,即BD⊥平面POC,也是確定點(diǎn)M的關(guān)鍵;(3)對于體積的求解,我們要有轉(zhuǎn)化的思想,這也是立體幾何解答題中體積求解問題的一個核心思想。

6題型三、空間角中的探索性問題例5如圖11,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,點(diǎn)M在棱PD上,N為BC的中點(diǎn)。圖11(1)求二面角C-PD-N的正弦值。(2)在棱PD上是否存在點(diǎn)M,使得NM與平面PCD所成角的正弦值為若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。圖12

7例6如圖13,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,BC⊥BA1。圖13(1)求證:BC⊥AB。(2)若E為A1B的中點(diǎn),三棱錐A-CEA1的體積為,試問:在線段CE上是否存在點(diǎn)P,使得二面角P-ABE的大小為30°?若存在,求的值;若不存在,請說明理由。解析:(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直棱柱,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥BC。又因?yàn)锽C⊥BA1,BB1∩BA1=B,BB1?平面ABB1A1,BA1?平面ABB1A1。所以BC⊥平面ABB1A1。因?yàn)锳B?平面ABB1A1,所以BC⊥AB。圖14

8方法點(diǎn)睛:(1)要熟知綜合法中利用線垂直于面來證明線線垂直這一重要方法;(2)利用好共線向量性質(zhì)定理中的λ,完成以動點(diǎn)在線上移動這一類背景命題的探究性問題。