立體幾何探究性問題（理科）.doc

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1、立體幾何探究性問題一、探究兩條異面直線所成的角DABCEFP例1（2004浙江）如圖1已知正方行ABCD和矩行ACEF所在平面互相垂直，，試在線段上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是，并加以證明。二、探究直線與平面所成的角2.在三棱錐A-BCD中，AB，BC，CD兩兩垂直，若AD與平面BCD所成的角為α，AD與平面ABC所成角為β，且AD=6，則當(dāng)α=30°，β為何值時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，最大值是多少？ABCDE3.（2006年江西）如圖4，在三棱錐中，側(cè)面是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且另一個(gè)側(cè)面是正三角形，在線段上是否存在一點(diǎn)，使成角，若存在，確定的位置，若不存

2、在，請說明理由。三、探究二面角ABCED4（2005年浙江）如圖在長方體中，點(diǎn)在棱上移動，當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，二面角的大小為。四、探究線面垂直5，（2000全國）如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．(I)證明：第22頁⊥BD；(II)假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角的平面角的余弦值；(III)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請給出證明．例5（2005湖北）如圖，在四棱錐P—ABC右，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面

3、PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離五、探究線面平行例6（2004年湖南）如圖在底面是菱形的四棱錐中，ABCDOEFMP點(diǎn)在上，且在棱上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論。六、探索角、距離的定值與最值例8：如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直。點(diǎn)在上移動，點(diǎn)在上移動，若。（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，的長最?。唬á螅┊?dāng)長最小時(shí)，求面與面所成的二面角的大小。第22頁一、探究兩條異面直線所成的角DABCEFP例1（2004浙江）如圖1已知正方行ABCD和矩行ACEF所在平面互相垂直，，試在線段上確定一點(diǎn)，使得與所成的角是，并加以證明。分析：設(shè)，利用與所成的角是來構(gòu)建以

4、為元的方程，再解就確定了點(diǎn)的位置。解法1：如圖2，ABCD是邊長為的正方形，設(shè)ABCDEFPQ作交與，則//，相交直線所成的角是異面直線與所成的角。平面ABCD平面ACEF,ACEF矩行，，，要使所成角是，只需使，只需使，，只需使，又在中，，，，所以當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)所成的角為。解法2：如圖3正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，YXzABCDEFP，又設(shè)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，要使所成角是只需使，所以，所以當(dāng)點(diǎn)是線段第22頁的中點(diǎn)時(shí)所成的角為。二、探究直線與平面所成的角ABCDE例2：（2006年江西）如圖4，在三棱錐中，

5、側(cè)面是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且另一個(gè)側(cè)面是正三角形，在線段上是否存在一點(diǎn)，使成角，若存在，確定的位置，若不存在，請說明理由。分析：如圖5把在三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體HCDB---AMNG,使我們對題意及圖形有透徹理解找到與面所成的角。在上任取一點(diǎn)使，利用所成的角為來構(gòu)建方程，再求ACBDEMNGH的值，若就確定了點(diǎn)的位置，若則說明滿足條件的點(diǎn)不存在。解法1：如圖6，在三棱錐中，側(cè)面是全等的直角三角形，是公共的斜邊，是正三角形，則DABCOEFH取的中點(diǎn)連結(jié)則，，，，作交的延長線于，則平面平面則，在Rt中，，在中，，在中，，，在中，設(shè)，作，平面平面，就是第22頁所

6、成的角。由(※)，在中，，要使成角，只需使，當(dāng)時(shí)成角AHFEBODCxyz解法2在解法1中接（※）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別為軸，軸的正方向，以過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示則，又平面的一個(gè)法向量為，要使成角，只需使成，只需使，即，當(dāng)時(shí)成角三、探究二面角ABCED例3（2005年浙江）如圖在長方體中，點(diǎn)在棱上移動，當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，二面角的大小為。分析：設(shè)，利用二面角的平面角的大小為來構(gòu)建以為元的方程，求解，就確定的值了。解法1：由于是長方體，則，作連結(jié)則在平面上的射影，由三垂線定理得，故是二面角的平面角。設(shè)，在，在，由，第22頁，要使，只需使，，解得（

7、舍去）所以當(dāng)時(shí)，二面角的大小為。xyZABCDE解法2：是長方體，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，y軸,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系；如圖所示。設(shè)則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由令，又平面的一個(gè)法向量為，要使二面角的大小為，只需使，，所以當(dāng)時(shí)，二面角大小為。四、探究線面垂直例4（2000全國）如圖已知平行六面體的底面是菱形，且，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)能使？請給出證明。分析：執(zhí)果索因，從結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行逆向思維，逐層探究使它成立的充分條件，聯(lián)想平行六面體是由長方體壓扁得到，從而ABCDO猜想，再從入手就容易證明了。第22頁解法1：如圖設(shè)，連結(jié)