安徽省九師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高三數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形、平面向量、復(fù)數(shù)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，.故選：A2.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可，【詳解】由題意得，，則，則，故A錯(cuò)誤；，或，則，故B正確； 又，，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知是角的終邊上一點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而由商數(shù)關(guān)系可求.【詳解】因?yàn)槭墙堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，則，故選：B.4.已知平面向量和實(shí)數(shù)，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的判定定理結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則與共線，可知充分性成立；若與共線，例如，則不成立，可知必要性不成立；所以“”是“與共線”的充分不必要條件.故選：A.5.扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物．我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長，是中華文化的一個(gè)組成部分．歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品．扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇．如圖1 是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻模耆蜷_后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中分別在上，的長為，則該折扇的扇面的面積為（）圖1圖2A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由扇形弧長公式求半徑，利用扇形面積公式求得大扇形與小扇形面積，再作差即可求扇面面積.【詳解】由弧長公式可得，，所以，則，所以該折扇的扇面面積為，故選：D.6.已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析判斷.【詳解】因?yàn)?，可知，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，所以.故選：C. 7.如圖，已知兩個(gè)單位向量和向量與夾角為，且與的夾角為，若，則（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系結(jié)合三角函數(shù)的定義及恒等變換得B、C坐標(biāo)，再利用平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，又，結(jié)合三角函數(shù)的定義易得，而，，所以，故，即.故選：D 8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，將方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)，且，由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性與值域，并畫出簡圖，設(shè)，則，得，分類討論的范圍，即可得出的范圍．【詳解】令，得，當(dāng)時(shí)，，即或，只有2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故，又，所以，設(shè)，且， 則，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，則在的最小值為，畫出簡圖，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，變形為，記，令，則，畫出簡圖，如圖所示，①當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)根，則只有一個(gè)根，不合題意； ②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，則有一個(gè)根，有兩個(gè)根，符合題意；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，則有一個(gè)根，有一個(gè)根，不合題意；綜上所述，，即，故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)為的兩個(gè)極值點(diǎn)，且的最小值為，直線為圖象的一條對稱軸，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由的最小值為可得周期，進(jìn)而解得；選項(xiàng)B，由對稱軸代入函數(shù)可得最值，解即可；選項(xiàng)C，代入驗(yàn)證知C項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D可證明.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，且的最小值為，所以的周期，所以，故A錯(cuò)誤；則，選項(xiàng)B，由為圖象的一條對稱軸，所以，即，因?yàn)?，所以，故B正確； 則，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，選項(xiàng)C，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，但，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由，得，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確.故選：BD.10.下列式子中最小值為4的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】對于ABC：利用基本不等式運(yùn)算求解；對于D：取特值代入檢驗(yàn).【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，但，所以的最小值不為4，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為4，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C成立；對于選項(xiàng)D：令，可得，所以4不是的最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且為奇函數(shù)，若，則（）A.B.4為一個(gè)周期C.D.【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由為奇函數(shù)，得，賦值可解；選項(xiàng)B，由已知關(guān)系式變形可得，則得周期為；選項(xiàng)CD，借助原函數(shù)滿足的等量關(guān)系兩邊求導(dǎo)，探究性質(zhì)，再結(jié)合周期性與賦值法可判斷.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，選項(xiàng)A，令，可得，故A正確；選項(xiàng)B，由，得，又已知，則，即，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期為，故B正確；選項(xiàng)C，由，兩邊求導(dǎo)得，令，得，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由，兩邊求導(dǎo)得，令，得， 由，兩邊求導(dǎo)得，故的一個(gè)周期為，，故D正確.故選：ABD.12.在中，內(nèi)角的對邊分別為為內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，則的面積與的面積之比是B.若，則滿足條件的三角形有兩個(gè)C.若，則為等腰三角形D.若點(diǎn)是的重心，且，則為直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】由奔馳定理及，即可判斷A；由余弦定理即可判斷B；由向量數(shù)量積的定義，誘導(dǎo)公式即可判斷C；由三角形重心的性質(zhì)和平面向量基本定理，即可判斷D．【詳解】對于A，如圖，點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，則，所以所以， 所以，即，又，所以，故A正確；對于B，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以滿足條件的三角形只有一個(gè)，故B錯(cuò)誤；對于C，由得，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以為等腰三角形，故C正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，即，所以，即，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解. 【詳解】因?yàn)?，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.14.______．【答案】【解析】【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式即可化簡求值.【詳解】.故.故答案為：.15.函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，求出的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出，將函數(shù)解析式化簡，利用判斷原函數(shù)的單調(diào)性可得出該函數(shù)的值域.【詳解】設(shè)， 因?yàn)椋瑒t，可知，可得函數(shù)，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以該函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.16.函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則______．【答案】1【解析】【分析】將函數(shù)解析式邊形為，設(shè)，則，記，由奇函數(shù)的定義得出為奇函數(shù)，得出在的最值，結(jié)合，即可求出．【詳解】，設(shè)，則，記，因?yàn)?，所以是在上的奇函?shù)，最大值為，最小值為，所以，又因?yàn)椋?所以，故答案：1．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，，求邊的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到的解析式，化簡得，由周期公式可解得，利用整體角的范圍求解單調(diào)減區(qū)間即可；（2）由整體角范圍解三角方程可得，再由已知條件，結(jié)合正弦定理可求.【小問1詳解】由題意得，所以的最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）知，，則，由，得， 則，解得，又由，得，已知，則由正弦定理，得.18.已知，且是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，利用求的值；（2）設(shè)，依題意有，求函數(shù)最小值，可得實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值．【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，即，則有，即，得，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，則，設(shè)， 依題意有，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，令，則，有，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則有，得，所以實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為5.19.已知是方程的根．（1）求的值；（2）若是第四象限角，，求值．【答案】（1）當(dāng)在第三象限時(shí)，值為；當(dāng)在第四象限時(shí)，值為.（2）【解析】【分析】（1）解方程得的值，利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡算式并求值；（2），利用同角三角函數(shù)的關(guān)系與兩角和的正弦公式計(jì)算.【小問1詳解】方程，解得，，由，得，當(dāng)在第三象限時(shí)，可得；當(dāng)在第四象限時(shí)，可得， ，所以，當(dāng)在第三象限時(shí)，；當(dāng)在第四象限時(shí)，，【小問2詳解】若是第四象限角，則，，由，則，所以.20.南京玄武湖號稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉．夏天的一個(gè)傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個(gè)愿景：若在玄武湖一個(gè)盛開荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計(jì)一些棧道和一個(gè)觀景臺，觀景臺在半圓形的中軸線上（圖中與直徑垂直，與不重合），通過棧道把連接起來，使人行在其中，猶如置身花海之感．已知，棧道總長度為函數(shù)． （1）求；（2）若棧道的造價(jià)為每米5萬元，試確定觀景臺的位置，使實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用最?。ㄓ^景臺的建造費(fèi)用忽略不計(jì)），并求出實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用的最小值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）在直角三角形中，由邊角關(guān)系分別表達(dá)，進(jìn)而求出，則可得棧道總長度；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值即可.【小問1詳解】由題意知，，，則，，所以.所以棧道總長度為【小問2詳解】建造棧道的費(fèi)用為，則，令，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故， 此時(shí)，故觀景臺位于離岸邊半圓弧中點(diǎn)的距離為米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為萬元.21.在銳角中，角的對邊分別為為的面積，且．（1）求的值；（2）若，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）已知，利用面積公式和余弦定理化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，解出與，可求的值；（2）由正弦定理和三角變換可得，根據(jù)角的范圍，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域問題.【小問1詳解】在銳角中，，已知，即，得，在中，由余弦定理得，則有，由，得，又，且，解得，，所以.【小問2詳解】 ，，，由正弦定理，則有，，，，，其中，，，，，則有，，即，銳角中，，所以，則，即，有，又，則，所以，即.22.已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．（1）求在上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若對恒成立，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)有界性分段討論的符號，由此得函數(shù)的單調(diào)性與極值； （2）先探求恒成立的必要條件，再證明其充分性.充分性的證明先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合（1）結(jié)論可證.【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，，所以，，則，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則，設(shè)，則，且，，則，所以在單調(diào)遞減，又，故存在，使得，即，且在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，則，所以，又，所以，故在上單調(diào)遞減； ④當(dāng)時(shí)，則，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在上單調(diào)遞增；⑤當(dāng)時(shí)，則，，所以，在上單調(diào)遞增；綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在上僅有個(gè)極值點(diǎn).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即.令，若對恒成立，由，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.由，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得.下面證明：當(dāng)時(shí)，為函數(shù)最小值點(diǎn)，，令，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 又，且，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，則恒成立，即在上恒成立，所以即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，符合題意.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理有關(guān)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的主要手段有：（1）分段處理：結(jié)合三角函數(shù)的有界性與各不同區(qū)間的值域分段判斷導(dǎo)函數(shù)符號；（2）高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：討論端點(diǎn)（特殊點(diǎn)）與單調(diào)性的關(guān)系，注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性是關(guān)鍵；（3）關(guān)注三角函數(shù)的有界性與常用不等式放縮，如等．