重難點(diǎn)4-2 奔馳定理及三角“四心”向量式（5題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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重難點(diǎn)4-2奔馳定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考點(diǎn)，它可以和函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識相結(jié)合考查。平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關(guān)的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等。【題型1三角形“重心”及應(yīng)用】滿分技巧常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)（1）（2）（3）若或，，則P一定經(jīng)過三角形的重心（4）若或，λ∈[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的重心【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．【變式1-1】（2022·湖南長沙·高三校考階段練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．又，，即．又，點(diǎn)在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】B【解析】過點(diǎn)分別作，，的垂線，，，其垂足依次為，如圖所示，由于，根據(jù)奔馳定理就有：，即，因此，故點(diǎn)是的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.故選：B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-3】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】D【解析】記為的中點(diǎn)，連接，作，如圖，則，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在三角形的中線上，則動點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的重心.故選：D.【變式1-4】（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若是的垂心，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，取的中點(diǎn)，連接，則，如圖，由，得，于是，，由是的垂心，得，則因此，即，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 顯然，，令直線交于，交于，在中，，即，則，所以的值為.故選：B【題型2三角形“內(nèi)心”及應(yīng)用】滿分技巧常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心?！纠?】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在中，，點(diǎn)D，E分別在線段，上，且D為中點(diǎn)，，若，則直線經(jīng)過的（）.A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)?，且D為中點(diǎn)，，則，又因?yàn)?，則可得四邊形為菱形，即為菱形的對角線，所以平分，即直線經(jīng)過的內(nèi)心故選:A【變式2-1】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，則四邊形是菱形，且．為的平分線．??，即，．，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．同理可得在其它兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：B．【變式2-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄浚瑸榉较蛏系膯挝幌蛄?，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心，故選：C.【變式2-3】（2023·湖北·模擬預(yù)測）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，又，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，又，所以，所以為以為斜邊的直角三角形，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，由直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以所?【變式2-4】（2022·遼寧沈陽·高三校考階段練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】延長，分別交于.內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn).在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，則.故選：C【題型3三角形“外心”及應(yīng)用】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧常用外心向量式：O是?ABC的外心，（1）（2）OA+OB?AB=OB+OC?BC=OA+OC?AC=0（3）動點(diǎn)P滿足OP=OB+OC2+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0,+∞，則動點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的外心.（4）若OA+OB?AB=OB+OC?BC=OC+OA?CA=0，則O是?ABC的外心.【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)校考期中）在中，動點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，所以，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過的外心，故選：A【變式3-1】（2023·廣東佛山·佛山一中?？家荒＃┰谥?，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【答案】D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則、互為相反向量，所以，，因?yàn)椋?，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分線段，因此動點(diǎn)的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心，故選：D.【變式3-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，則點(diǎn)O為該三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【解析】根據(jù)題意，，即，所以，則向量在向量上的投影為的一半，所以點(diǎn)O在邊AB的中垂線上，同理，點(diǎn)O在邊AC的中垂線上，所以點(diǎn)O為該三角形的外心，故選：B．【變式3-3】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【答案】A【解析】設(shè)，，以為原點(diǎn)，、方向?yàn)椤⑤S正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，，，則，設(shè)，則，，，即，即點(diǎn)的軌跡方程為，而直線平分線段，即點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡一定過的外心，故選：A.【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點(diǎn)一定是的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】設(shè)中點(diǎn)為，所以，所以，即，所以，又由為中點(diǎn)可得點(diǎn)在的垂直平分線上，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以點(diǎn)是的外心，故選：B【題型4三角形“垂心”及應(yīng)用】滿分技巧常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：（1）OA?OB=OB?OC=OC?OA（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2（3）動點(diǎn)P滿足，λ∈0,+∞，則動點(diǎn)P的軌跡一定過?ABC的垂心（4）奔馳定理推論：S?BOC:S?COA:S?AOB=tanA:tanB:tanC，tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=0.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【答案】C【解析】取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因?yàn)椋?，又，則，所以，又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，所以點(diǎn)是的垂心．故選：C．【變式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以，，同理可得，，故是的垂心.故選：D.【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】D【解析】，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.【變式4-3】（2023·上海·高三行知中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中，已知，若不是等邊三角形，且點(diǎn)在平面上的投影位于內(nèi)，則點(diǎn)是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】D【解析】如圖，由題意可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以點(diǎn)是的垂心.故選：D.【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.【題型5奔馳定理及應(yīng)用】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧奔馳定理及其推論1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則2、奔馳定理推論：，則①②，，.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案?！纠?】（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若，設(shè)，則實(shí)數(shù)和的值分別為（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】如圖所示，延長交于，顯然，由面積關(guān)系可得，所以，而，所以，所以，即，又由題可知，所以，所以，整理得，所以，故選：A【變式5-1】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心，故選：B【變式5-2】（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯誤.故選：ABC【變式5-3】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【答案】AD【解析】對于A，由奔馳定理可得，，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；對于B，若是的重心，，因?yàn)椋?，即共線，故B錯誤．對于C，當(dāng)為的外心時，，所以，即，故C錯誤．對于D，當(dāng)為的內(nèi)心時，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.【變式5-4】（2024·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對于A，取的中點(diǎn)D，連接，由，則，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，所以，即，故B正確；對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，則有，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長交于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，則，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ABD．（建議用時：60分鐘）1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由題意知，中，，則，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故選：C2．（2022·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（）A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心【答案】A【解析】設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，三點(diǎn)共線，即在的中線，同理可得在的三條中線上，即為的重心；因?yàn)椋?，點(diǎn)為的外接圓圓心，即為的外心綜上，點(diǎn)依次是的重心，外心.故選：A3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△中，，，，O為△的內(nèi)心，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，則，因?yàn)镺為△的內(nèi)心，所以，從而，解得，，所以.故選：C.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】依題意，則是重心，即充分性成立；若是重心時，，可得學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，必要性成立，故選：C.5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過的（）A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．邊的中點(diǎn)【答案】C【解析】由動點(diǎn)滿足，且，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定過的重心.故選：C.6．（2022·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考期中）已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性：等價于：，等價于：，等價于：所以為的靠近的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)為重心；必要性：若點(diǎn)為重心，由重心性質(zhì)知，故故選：C7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，兩端同時點(diǎn)乘，所以學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，所以，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.故選：B.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心【答案】C【解析】，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點(diǎn)在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點(diǎn)在的角平分線上；，分別表示在邊和上的單位向量，可設(shè)為和，則，則當(dāng)時，即，點(diǎn)在的角平分線上，故是的內(nèi)心.故選：C.9．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）在銳角三角形ABC中，，，H為的垂心，，O為的外心，且，則（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，如圖，延長BH交AC于D，延長AH交BC于E，所以，所以，即．又O為的外心，所以，即，又在中，，故，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，與，相減得，所以由正弦定理得，即，解得．故選：C.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動點(diǎn)滿足則動點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心【答案】A【解析】在中，令線段的中點(diǎn)為，由正弦定理，得，由，得即，而，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，即動點(diǎn)的軌跡是射線除點(diǎn)A外),又重心在線段上，動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心．故選：A.11．（2022·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】是三角形的重心，所以，，A錯誤.根據(jù)歐拉線的知識可知，B選項(xiàng)正確.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，所以C選項(xiàng)正確.，所以D選項(xiàng)正確.故選：A12．（2022·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.13．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，是邊中點(diǎn)，則共線且，，所以，D正確，由于選項(xiàng)ABC均不能保證系數(shù)相等，故不正確．故選：D．14．（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】延長交于點(diǎn)P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時，此時，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．15．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若，則點(diǎn)O是的重心B．若，則點(diǎn)O是的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)O是的外心D．若，則點(diǎn)O是的垂心【答案】BCD【解析】對于A，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得，則，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則四邊形ADFE是菱形，且，平分，，，即，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上，同理可得O在其它兩角的平分線上，所以O(shè)為的內(nèi)心，故A錯誤；對B，在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得，如圖，則，且，因?yàn)?，即，又知，平分，同理，可得平分，故O為的內(nèi)心，故B正確；對C，取的中點(diǎn)分別為，如圖，，，即，所以O(shè)是的外心，故C正確；對D，由，可得，即，所以，即點(diǎn)O是的垂心，故D正確.故選：BCD16．（2023·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，又因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，故正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，整理得：，即，設(shè)為中點(diǎn)，則，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以垂直平分，故，正確；對于C選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在邊的中線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的重心，正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)閷W(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心，錯誤.故選：ABC17．（2023·遼寧·高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯誤的是（）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的外心【答案】ABD【解析】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點(diǎn)為三角形外心，故有可能為外心，A錯；中或，則或?yàn)槿切未剐?，故有可能為垂心，B錯；若為的重心，必有，此時，C對；若，，結(jié)合，則點(diǎn)在一個以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內(nèi)（含邊界），為銳角三角形，其外心在內(nèi)，則必過外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點(diǎn)，則必過外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側(cè)，如下圖示，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界），此時，當(dāng)外心在內(nèi)（含邊界），則必過外心；當(dāng)外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，，，的軌跡不一定過的外心，D錯.故選：ABD18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）在所在平面內(nèi)有三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A．滿足，則點(diǎn)是的外心B．滿足，則點(diǎn)是的重心C．滿足，則點(diǎn)是的垂心D．滿足，且，則為等邊三角形【答案】ABCD【解析】對于，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的三個頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，故正確；對于B，如圖所示，為的中點(diǎn)，由得：，所以，所以是的重心，故B正確；對于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以點(diǎn)是的垂心，故C正確；對于D，由得：角的平分線垂直于，所以；由得：，所以，所以為等邊三角形，故D正確．故選：ABCD．19．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若是的垂心，且，則的值為．【答案】【解析】由，得，所以，故垂心在中線上，即高線與中線重合，故，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，所以，又因?yàn)?，，得，所以，即，得到，由余弦定理得，又，所以，所以，所?得到．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則動點(diǎn)的軌跡一定過的重心．②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則動點(diǎn)的軌跡一定過的內(nèi)心．③是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且，則．④若，且，則是等邊三角形．其中正確的命題有個．【答案】3【解析】對于①，令點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，由于，，根據(jù)極化恒等式就有，，于是，，因此動點(diǎn)的軌跡是射線AD，過的重心，故①正確．對于②，取一點(diǎn)使得，并連接AD，如圖所示，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由于，因此，于是，從而的內(nèi)心在射線AD上．由于，，于是就有，，即，，因此動點(diǎn)的軌跡是射線AD，過的內(nèi)心，故②正確．對于③，由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,所以，故③錯誤．對于④，根據(jù)，結(jié)合②，可得的平分線與BC垂直，于是就有．由于，又，得到，因此是等邊三角形，故④正確．綜上所述，正確的命題有3個．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司