陜西省商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數(shù)學(xué)（文科）試題.docx

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商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數(shù)學(xué)試卷（文科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2．請將各題答案填寫在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則（）A．2B．C．1D．2．已知集合，集合，則（）A．B．C．D．3．命題“對任意的”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．對任意的4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，則（）A．65B．55C．45D．355．近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A．2.6小時(shí)B．6小時(shí)C．3小時(shí)D．4小時(shí)6．已知非零向量滿足，則（）A．B．C．D．7．已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（）A．1B．2C．3D．48．已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（） A．8B．16C．32D．489．已知函數(shù)，給出的圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)與函數(shù)的圖像的對稱軸相同，給出下列結(jié)論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④函數(shù)的所有零點(diǎn)的集合為．其中正確的為（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．已知是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為（）A．12B．C．D． 12．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，若事件的概率為，則實(shí)數(shù)的值為______．14．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為______．15．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為______．16．已知函數(shù)滿足，則滿足的最大正整數(shù)的值為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．18．（本小題滿分12分）現(xiàn)從某學(xué)校高三年級男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組，第2組，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． （1）試評估該校高三年級男生的平均身高；（2）求這50名男生中身高在以上（含）的人數(shù)；（3）從這50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求該2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．19．（本小題滿分12分）在等腰梯形中，，，，，，分別為的中點(diǎn)（如圖1），將沿折起到的位置，使得（如圖2）．（1）證明：平面．（2）求到平面的距離．20．（本小題滿分12分）已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，，且．過作，垂足為，試問是否存在定點(diǎn)，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)和的圖像在上有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于 兩點(diǎn)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，軸的負(fù)半軸為極軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）記線段的中點(diǎn)為；若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知函數(shù)的最小值是．（1）求；（2）若正數(shù)滿足，求證：． 商洛市2024屆高三第四次模擬檢測數(shù)學(xué)試題（文科）參考答案及評分意見一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．123456789101112ABCDCDCBDBCB1．A．【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得．故選A．2．B．【詳解】，解得，所以，所以．故選：B3．C．【詳解】“對任意的”的否定是：存在，選C．4．D．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，．故選：D5．C．【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，，解得因此，污染物消除至最初的還需要3小時(shí)．故選：C．6．D．【詳解】．所以，又，，由均為非零向量，則，且在到之間，故．故選：D．7．C．【詳解】由已知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，有拋物線定義知，因此，點(diǎn)橫坐標(biāo)是該，所以，故選：C． 方法二：設(shè)點(diǎn)，則，由已知，解得，所以，故選：C．8．B．【詳解】觀察可發(fā)現(xiàn)這個(gè)棱錐是將一個(gè)側(cè)面擺在地面上，而棱錐的真正底面體現(xiàn)在正視圖（梯形）中，所以，而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，即，所以答案：B9．D【詳解】對于，定義域?yàn)?，滿足，為偶函數(shù)．同理可得：為奇函數(shù)．記，則所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù)．由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且．顯然選項(xiàng)A，B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對，為奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對D，，為奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．故正確．故選：D．10．B．【詳解】對于①，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖像的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數(shù)的周期也相同，因此，解得，故①錯(cuò)誤；對于②，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與的圖像關(guān)于軸對稱，則它們的對稱軸相同，故②正確； 對于③，令得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，故③正確；對于④，的所有零點(diǎn)滿足，解得所有零點(diǎn)的集合為，故④錯(cuò)誤．11．C．【詳解】由雙曲線定義，，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值．故選：C12．B．【詳解】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增則不等式等價(jià)于恒成立因?yàn)?，所以，所以對任意恒成立，即恒成立設(shè)，可得，當(dāng)單調(diào)遞增當(dāng)單調(diào)遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B二、填空題：本題共4小題．13．014．15．16．1213．0【詳解】依題意，故事件表示，故事件概率為14．答案：【詳解】，斜率為，切線為15．答案：【詳解】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)是球心，所以該球的半徑為，所以外接球的體積為．16．答案：12【詳解】， 所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有所以所解不等式為：可解得：的最大值為12三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：17．答案：（1）（2）【詳解】（1）在中，由正弦定理得：所以，．所以，，即，即，又，所以，所以，即（2）在中，由余弦定理得，即．， 所以．18．【詳解】（1）由頻率分布直方圖，經(jīng)過計(jì)算該校高三年級男生平均身高為，平均值為168.72，高于全市平均值168．（2）由頻率分布直方圖知，后2組頻率為，人數(shù)為，即這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)為6．（3）由（2）50人中以上的有6人，以上的有2人．設(shè)6人為以上的有2人為，任取2人的取法為恰有1人180以上的取法為所以所求概率為，19．（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）連接，如圖， 如圖1，在等腰梯形中，，為中點(diǎn)，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，即，如圖2，，又平面，平面，又平面，所以四邊形為菱形，，、分別為、中點(diǎn)，，平面平面．（2）在中，，，平面平面，在Rt中，，．平面到平面的距離為，設(shè)到平面的距離為，由可得，， 點(diǎn)到平面的距離為20．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓的方程為．又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，若直線斜率為0，不妨設(shè)，此時(shí)是方程的兩根，所以，但，不滿足題意；若直線斜率不為0，直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，消去得，由，得，所以．又因?yàn)?，所以，整理得，即，化簡得?所以，化簡得，解得，即直線恒過點(diǎn)．因?yàn)?，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，取線段的中點(diǎn)，則，所以存在定點(diǎn)，使得線段的長度為定值．21．【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，則令，得（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，0極小值（3）當(dāng)時(shí)，0極小值綜上當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減（Ⅱ）函數(shù)和的圖像在上有交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)和的圖像在上有交點(diǎn)， 等價(jià)于的圖像在有零點(diǎn)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．，由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，在上有零點(diǎn)，則或當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，即綜合得：實(shí)數(shù)的取值范圍為（二）選考題；22．（1）；（2）．【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所求方程為曲線的極坐標(biāo)方程為（2）聯(lián)立和，得，設(shè)、，則，由，得，當(dāng)時(shí)，取最大值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為23．（1）（2）證明見解析 【詳解】（1）由題意得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因此的最小值（2）由（1）知，且均為正數(shù)，所以，由基本不等式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即