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《三角線性方程組的數(shù)值計算》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、三角線性方程組的數(shù)值計算1.實驗描述有回代的高斯消元法：如果A是N×N非奇異矩陣，則存在線性方程組UX=Y與線性方程組AX=B等價，這里U是上三角矩陣，并且ukk≠0。當(dāng)構(gòu)造出U和Y后，可以用回代法求解UX=Y，并且得到方程組的解X。三角分解法：設(shè)線性方程組AX=B的系數(shù)矩陣A存在三角分解（如果非奇異矩陣A可以表示為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積：A=LU則A存在一個三角分解），則線性方程組可以表示為LUX=B而方程組的解可以通過定義Y=UX并求解下面的倆個方程組得到。首先對方程組LY=B求解Y，然后對方程組UX=Y求解X。雅可比迭代：設(shè)矩陣A具有嚴格對角優(yōu)勢，則
2、AX=B有唯一解X=P利用迭代式（xj（k+1)=bj-aj1xk-…-ajj-1xj-1k-ajj+1xjj+1k-…ajNxN(k)ajj(其中j=1，2，…，N)）可產(chǎn)生一個向量序列﹛Pk﹜，而且對于任意初始向量P0，向量序列都將收斂到P0。高斯-賽德爾迭代：xj（k+1)=bj-aj1xk+1-…-ajj-1xj-1k+1-ajj+1xjj+1k-…-ajNxN(k)ajj2.實驗內(nèi)容設(shè)有如下三角線性方程組，而且系數(shù)矩陣具有嚴格對角優(yōu)勢：d1x1+c1x1=b1a1+d2x2+c2x2=b2a2x2+d3x3+c3x4=b3............aN-2x
3、N-2+dN-1xN-1+cN-1xN=bN-1aN-1xN-1+dNxN=bN假設(shè)d1=d2=…=dn=12，b1=b2=…=bn=5;c1=c2=..=cn=a1=a2=…=an=-2;1.用高斯消元法計算；2.采用LU分解來計算；3.采用雅可比迭代法計算；4.采用高斯-賽德爾迭代法計算。3.實驗結(jié)果及分析１，高斯消元法：分析：先做增廣矩陣Aug＝[A B]通過高斯消元法：m=Aug(k,k-1)/Aug(k-1,k-1);Aug(k,k:N+1)=Aug(k,k:N+1)-m*Aug(k-1,k:N+1);從而得到上三角矩陣 向上利用X(k)=(Aug(k,N
4、+1)-Aug(k,k+1:N)*X(k+1:N))/Aug(k,k)回代得到所求答案： inputN:=6X=0.51780.60650.62130.62130.60650.5178１，三角分解法：分析：利用指令[L,U,P]=lu(A)得出P－１×A的分解矩陣L，UinputN:=6L=1.000000000-0.16671.000000000-0.17141.000000000-0.17161.000000000-0.17161.000000000-0.17161.0000U=12.0000-2.00000000011.6667-2.00000000011
5、.6571-2.00000000011.6569-2.00000000011.6569-2.00000000011.6569再構(gòu)造N×１矩陣Y，令LY＝P×B，再做增廣矩陣Aug＝[L P×B] 利用向下回代公式Y(jié)(k)=(Aug(k,N+1)-Aug(k,k-1:-1:1)*Y(k-1:-1:1))/Aug(k,k)求出Y的值：Y=5.00005.83336.00006.02946.03456.0354再令UX＝Y(jié)，構(gòu)造增廣矩陣Aug＝[U Y]利用向上回代公式X(k)=(Aug(k,N+1)-Aug(k,k+1:N)*X(k+1:N))/Aug(k,k)從而
6、可以得到答案：X=0.51780.60650.62130.62130.60650.51780.5178３，雅可比迭代法： 分析：利用雅可比迭代式： X(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j) 迭代次數(shù)３０，精度為０。０００１ X矩陣的初始值為P，P為N×１的零矩陣從而可以求的答案：inputN:=6X=0.51770.60650.62130.62130.60650.5177４，高斯德爾賽迭代法： 分析：考慮雅克比迭代法收斂速度有限 可以運用新的迭代方式增快收斂速度
7、 X(j)=(B(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)'-A(j,j+1:N)*P(j+1:N))/A(j,j); 令X的初始矩陣為P，P為N×１的零矩陣迭代次數(shù)３０，精度為０。０００１從而求的答案為：inputN:=6X=0.51770.60650.62130.62130.60650.51781.結(jié)論四種方法所求答案基本相等，在N（未知數(shù)個數(shù)）很小時，程序運行速度基本相等。體現(xiàn)不出優(yōu)缺點。在N很大時法3、法4優(yōu)勢明顯，尤其是法4。代碼：1，高斯消元法：N=input('inputN:='); %輸入N的值A(chǔ)=zeros(N,N);%定義A為
