波動(dòng)方程的應(yīng)用：海洋中的聲傳播 理論

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1、波動(dòng)方程的應(yīng)用：海洋中的聲傳播理論潘宇航14010006025楊誠誠14010006035波動(dòng)方程或稱波方程(waveequations）由麥克斯韋方程組導(dǎo)出的、描述電磁場(chǎng)波動(dòng)特征的一組微分方程，是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)等領(lǐng)域。本篇論文將從聲傳播理論出發(fā)來了解波動(dòng)方程在海洋科學(xué)中的應(yīng)用。首先利用一幅圖來介紹聲場(chǎng)常用分析方法。波動(dòng)理論（簡正波方法）是研究聲信號(hào)的振幅和相位在聲場(chǎng)中的變化，它適用低頻，數(shù)學(xué)上復(fù)雜、物理意義不直觀的聲場(chǎng)分析方法。在封閉空

2、間或半關(guān)閉空間，反射波的互相干涉要形成一系列的固有振動(dòng)，稱之為簡正波。簡正方式理論是引用量子力學(xué)中本征值的概念并加以發(fā)展而形成的。本篇論文將從介紹波動(dòng)方程和兩種基礎(chǔ)生場(chǎng)中的簡正波兩部分來討論。１波動(dòng)方程１．１在理想海水介質(zhì)中，小振幅波的運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程：１．２引入新變量：１．３考慮簡諧波，則有：備注：φ不是聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)，K不是波數(shù)，且均為三維空間函數(shù)。１．４在海水中，與聲速相比密度變化很小，將其視為常數(shù)，則有：＊如果介質(zhì)有外力作用，例如有聲源情況，則有：1.5定解條件定解條件就是滿足物理問題的具體條件1.5.1邊界條件邊界條件是物理量在介質(zhì)邊

3、界上必須滿足的條件1.5.1.1絕對(duì)軟邊界條件假定聲壓為零為絕對(duì)軟邊界條件，可設(shè)界面方程：界面聲壓：此時(shí)此條件為第一類齊次邊界條件如果已知邊界面上的壓力分布，則有：此條件為第一類非齊次邊界條件1.5.1.2絕對(duì)硬邊界條件假定法向質(zhì)點(diǎn)振速為零為絕對(duì)硬邊界條件此時(shí)界面方程：界面聲壓：此為第二類齊次邊界條件如果已知邊界面上的質(zhì)點(diǎn)振速分布，則有：此為第二類非齊次邊界條件1.5.1.3混合邊界條件此時(shí)條件為壓力和振速線性組合形式如此式：若a為常數(shù)，則為第三類邊界條件若，則為阻抗邊界條件：1.5.1.4邊界上密度或聲速有限間斷邊界上壓力和法向質(zhì)點(diǎn)振速連續(xù)，可表示如下

4、式:若壓力不連續(xù)，質(zhì)量加速度趨于無窮；若法向振速不連續(xù)，邊界上介質(zhì)“真空”或“聚集”。1.5.2輻射條件無窮遠(yuǎn)處沒有聲源存在時(shí)，其聲場(chǎng)應(yīng)具有擴(kuò)散波的性質(zhì)。1.5.2.1平面波情況1.5.2.2柱面波情況1.5.2.3球面波情況這種條件也稱之為索末菲爾德（Sommerfeld）條件。1.5.3奇性條件對(duì)于聲源輻射的球面波，在聲源處存在奇異點(diǎn)，即不滿足波動(dòng)方程；如果引入狄拉克函數(shù)，它滿足非齊次波動(dòng)方程根據(jù)狄拉克函數(shù)的定義，下列將證明非齊次波動(dòng)方程正確性證：簡諧球面波有：體積積分后為：利用高斯定理：證明左端＝右端，證畢。1.5.4初始條件當(dāng)求遠(yuǎn)離初始時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)

5、解，可不考慮初始條件。2.波動(dòng)聲學(xué)2.1、硬底均勻淺海聲場(chǎng)硬底均勻淺海聲場(chǎng)的波導(dǎo)模型為上層為均勻水層，下層為硬質(zhì)均勻海底，海面和海底均平整。2.1.1簡正波由于問題圓柱對(duì)稱性，則水層中聲場(chǎng)滿足波動(dòng)方程：在圓柱對(duì)稱情況下，根據(jù)狄拉克函數(shù)定義可求得：常數(shù)A與聲源強(qiáng)度有關(guān)，不失一般性取A=1，則有：常數(shù)A與聲源強(qiáng)度有關(guān)，不失一般性取A=1，則有：常數(shù)A與聲源強(qiáng)度有關(guān)，不失一般性取A=1，則有：令，由分離變量法可求得本征函數(shù)通解：根據(jù)邊界條件：?自由海面：?硬質(zhì)海底：根據(jù)正交歸一化條件：同理可得的解（零階貝塞爾方程）：此時(shí)聲場(chǎng)中聲壓為：在遠(yuǎn)場(chǎng)，根據(jù)漢克爾函數(shù)近似

6、表達(dá)式：n階簡正波表達(dá)式：每階簡正波沿深度z方向作駐波分布、沿水平r方向傳播的波；不同階數(shù)的簡正波其駐波的分布形式不同。2.1.2.截止頻率2.1.2.1簡正波階數(shù)最大值：當(dāng)簡正波數(shù)n>N時(shí)，水平波數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，簡正波振幅隨r作指數(shù)衰減。在遠(yuǎn)場(chǎng)，聲場(chǎng)可表示成有限項(xiàng)：2.1.2.2臨界頻率：臨界頻率是最高階簡正波傳播頻率聲源激發(fā)頻率時(shí)，波導(dǎo)中不存在第N階及以上各階簡正波的傳播。2.1.2.3截止頻率：截止頻率是簡正波在波導(dǎo)中無衰減傳播的最低臨界頻率聲源激發(fā)頻率時(shí)，所有各階簡正波均隨距離按指數(shù)衰減，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓接近為零。2.1.3相速度和群速度相速：等相位面的傳播

7、速度（振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度）群速：聲波能量的傳播速度簡正波的群速小于相速。相速：虛斜線沿r方向傳播速度群速：波形包絡(luò)傳播速度2.1.4傳播損失2.1.4.1傳播損失假設(shè)單位距離處聲壓振幅為1，則遠(yuǎn)處傳播損失為：當(dāng)和均為實(shí)數(shù)時(shí)，可得：當(dāng)聲傳播條件充分不均勻，簡正波之間相位無關(guān)：對(duì)于硬質(zhì)海底的淺海聲場(chǎng)的傳播損失：假設(shè)聲源和接收器適當(dāng)遠(yuǎn)離海面和海底：在0和1之間隨機(jī)取值0和1之間隨機(jī)取值在0和1之間隨機(jī)取值如果波導(dǎo)中簡正波個(gè)數(shù)較多：深度取平均后，傳播損失為：此時(shí)聲能被限制在層內(nèi)，隨距離r作柱面波衰減。2.1.4.2聲波掠射角和聲源位置2.1.4.2.1掠

8、射角掠射角變化在傳播損失中：此時(shí)分為兩種情況，分別為硬質(zhì)海底與非絕對(duì)硬質(zhì)海底1）