證明最佳包絡(luò)矩形

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1、兩個五邊形組成的包絡(luò)矩形中，隨著x(x為兩個五邊形的最長邊左下角點的距離差)的變化，整個包絡(luò)矩形的面積也會發(fā)生變化。一個包絡(luò)矩形的面積由多邊形的實際面積和構(gòu)成多邊形成為矩形的構(gòu)成面積組成。對于一個樣件而言,它的利用率為是一個確定的值，它等于兩個五邊形的面積之和，因此的大小直接影響到利用率。若增大，將減小；若減小，將增大。所以為了使板材的利用率最大，就是為了使每個樣件的利用率最大，也就是使得包絡(luò)矩形的最小。通過繪圖我們發(fā)現(xiàn)，如果只將一個五邊形構(gòu)成一個包絡(luò)矩形(如圖所示)，在包絡(luò)矩形的右下角有一大部分面積沒有

2、充分利用，這種包絡(luò)矩形的利用率只有。。。因此我們打算利用多個五邊形并靠在一起構(gòu)成一個最佳的包絡(luò)矩形，充分利用樣件的利用率。通過多個圖形的并靠和不同的并靠方式的組合，我么最終確定兩個五邊形并靠在構(gòu)成一個包絡(luò)矩形(如圖所示)的方式可以使得整個包絡(luò)矩形的利用率最大，從圖形上我們可以看出，這種包絡(luò)矩形的利用率顯然高于單個五邊形構(gòu)成的包絡(luò)矩型的利用率。我們定義五邊形A和五邊形B的M、N兩點之間的距離為x，我們可以根據(jù)這個x的值來討論兩個圖形在錯位時的情況。對于x變化時，產(chǎn)生的每一種包絡(luò)矩形而言，它們的在上圖中的陰影

3、部分面積否是不會發(fā)生改變的，在每種包絡(luò)矩形中，這些面積都是無法消去的。所以我們可以認為通過改變等效面積(圖中空白部分的面積)的大小，就能直接反映樣本的利用率。情況1.如上圖所示，當x一定大時，兩個圖形會因為高度差使得等效面積增加。x減小時，這種高度差將會減小到0，這時等效面積最小。高度差為0情況2.當x大于某一個數(shù)值時，兩個圖形的將在上下兩端產(chǎn)生錯位，這會使得有新的高度差產(chǎn)生。由圖形的對稱性可知，等效面積就是圖中的的兩倍，為了方便計算，我們就可以認為等效面積就是圖中的。;X變化時，出現(xiàn)的兩種極限情況其中M

4、，L，a，b都是確定的值，。因為，所以這是一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，此時在或者時，使得的面積最小，包絡(luò)矩形的利用率最大。通過計算我們得出在，圖形并靠得到的包絡(luò)矩形的利用率最大。情況3.當X繼續(xù)減小，減小至小于0時，兩個圖形交錯產(chǎn)生的等效面積又將減小。時，包絡(luò)矩形圖通過觀察時的矩形包絡(luò)圖和時的矩形包絡(luò)圖發(fā)現(xiàn)，隨著X的減小，等效面積又將減小。當時，S的面積減小為0，達到最小。若X繼續(xù)減小，這時又將產(chǎn)生新的S又會因為錯位而增加。時的矩形包絡(luò)圖時的矩形包絡(luò)圖圖中，M，L，a，b都是確定值。綜合所述：當兩個

5、五邊形并靠成為如下圖所示的包絡(luò)矩形時,包絡(luò)矩形將達到最優(yōu)，此時最小，此時樣板的利用率最大。所以選擇這種并靠方式將使得樣板在板材優(yōu)化下料時最佳。五邊形的最佳包絡(luò)矩形