理論力學(xué)(陳世民)答案

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1、第零章數(shù)學(xué)準備一泰勒展開式1二項式的展開2一般函數(shù)的展開特別:時,3二元函數(shù)的展開(x=y=0處)評注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉(zhuǎn)化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二常微分方程1一階非齊次常微分方程：通解：注：積分時不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2一個特殊二階微分方程通解：注：為由初始條件決定的常量3二階非齊次常微分方程通解：；為對應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個特解。非齊次方程的一個特解（1）對應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，；*若則，；（2）若為二次多項式*時，可設(shè)*時，可設(shè)注：以上,,A,B,C,D均為常數(shù)，由

2、初始條件決定。三矢量1矢量的標積注：常用于一矢量在一方向上的投影2矢量的矢積四矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。令*D=0時，方程組有非零解*D0時，方程只有零解第一章牛頓力學(xué)的基本定律【要點分析與總結(jié)】1質(zhì)點運動的描述（1）直線坐標系（2）平面極坐標系（3）自然坐標系（4）柱坐標系〈析〉上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時一定要注意矢量順序2牛頓定律慣性定律的矢量表述（1）直角坐標系中（2）極挫標系中（3）自然坐標系中3質(zhì)點運動的基本定理幾個量的定義：動量角動量沖量力矩沖量矩動能（1）動量定理方向上動量守恒：（2）動量矩定理（3）動能定理4機戒能守

3、恒定理T+V=E〈析〉勢函數(shù)V:穩(wěn)定平衡下的勢函數(shù)：;此時勢能處極小處且能量滿足【解題演示】1.1解：依幾何關(guān)系知：又因為：故：1.3解：設(shè)O點坐標為（）。則M點坐標為（）故：1.5解：得：1.8解：設(shè)且有：解得：得：則：1.14解：依牛頓第二運動定律有：積分并代入初始條件：時：解得：當(dāng)再次夾角為時：可解出：1.16解：（注：此題中）設(shè)最大伸長為有：依能量守恒：解得：則：1.18解：依受力分析知+得：積分得:代入得：積分得：同理：積分得：式中。另解：先將AB及彈簧看成一系統(tǒng)，其質(zhì)心做一受恒力的作用，再將A與B理解成繞質(zhì)心做周期性振動，可得A的運動規(guī)律為質(zhì)心運動與A振動的合運動，B亦然。計算

4、亦很簡單！1.19解：將脫離時滑過相應(yīng)角度為，此時滿足：可解得：1.21解：小環(huán)因重力對的壓力。而小環(huán)運動所需向心力必由對的彈力F與重力提供，滿足：（法向）又依能量守恒知：且依兩環(huán)的對稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為：當(dāng)大環(huán)升起須滿足：故得方程：故：當(dāng)滿足時，升起時角度滿足解出：則剛升起時：第二章有心運動和兩體問題【要點分析與總結(jié)】1有心力和有心運動（1）有心運動的三個特征：平面運動動量守恒()機械能守恒()（2）運動微分方程可導(dǎo)出：〈析〉是一個恒量，解題時應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運用會使你絕處逢生，可謂是柳暗花明又一村的大門。2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點運動可由比內(nèi)公式導(dǎo)出：（為由初始條件決定

5、的常量）近日點：遠日點：且可得半長軸長：〈析〉用來求，進而得出運動規(guī)律，即便是開普勒三定律亦是須臾即得。2距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點運動（粒子散射）的雙曲線模型（）可導(dǎo)出：散射角：盧瑟福散射公式：（式中散射截面：，立體角：將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式）4質(zhì)點運動軌道的討論（1）圓軌道的穩(wěn)定條件（等效勢能：）再利用可導(dǎo)出：（2）軌道的軌跡曲線〈析〉通過與0的關(guān)系，即可判斷天體運動的軌跡曲線【解題演示】2.4證明:依比內(nèi)方程得:積分得:式中:,A為積分常數(shù)2.5證明:即：2.8解：（1）依比內(nèi)公式有：得：積分得：即：由于時,軌道在處開口,是拋物線型,故。（2）得：又因為得：故須滿足

6、：得：此時:2.9解：（1）因為:故有:積分得：（1）由質(zhì)點和諧振動系統(tǒng)組成的系統(tǒng)能量守恒,當(dāng)受到?jīng)_量I之后此時：當(dāng)運動到極點處但有：整理得方程：可解出：得：（3）時：此時:沖量的作用使速度在同方向變?yōu)?倍,由于此處，故此處為一極點：。到達另一極點處,恢復(fù)到切向，且得：時：同理,沖量作用使（后瞬間）,故此處為一極點到電達一極點時,恢復(fù)切向,且：得：2.11．解：電子運動時的等效勢能穩(wěn)定條件：得：得：解出（注:無意義）2.13．解：依能量與動量守恒可得：可解得：2.14．解:依題知,散射舅跡為雙曲線,從（8）題知：且。是取距離最近時力心與雙曲線焦點連線。又知：時即：得：又由于散射截面，且由上

7、式可得：則:得：即微分散射截面:第三章非慣性參考系【要點分析與總結(jié)】1相對運動〈析〉僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。（1）平動非慣性系()即：（2）旋轉(zhuǎn)非慣性系()2地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)（以地心為參考點）寫成分量形式為：〈析〉坐標系選取物質(zhì)在地面上一定點O為坐標原點，x軸指向南方，y軸指向東方，鉛直方向為z軸方向。為旋轉(zhuǎn)非慣性系在條件下忽略與所得。正因如此，地球上的物體運動均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來的科氏力的作用，也