第1 o章 比較與類比

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1、第1O章比較與類比10．1比較概述與類型i0．1．1比較概述比較是人類認(rèn)識客觀事物的一種最基本的思維方法。比如，對事物集合量的最初的認(rèn)識，正是通過比較認(rèn)識到事物集合量的“多”或“少”或“同樣多”，從而形成等價(jià)集合類的概念，最終得到自然數(shù)的概念。比較還使我們發(fā)現(xiàn)某類事物不同于它類事物的共同的本質(zhì)屬性，從而形成概念，達(dá)到對事物更灤刻的認(rèn)識。無論是區(qū)分事物的質(zhì)，還是區(qū)分事物的量，都要通過比較這一思維方法才能達(dá)到。區(qū)分事物的客觀基礎(chǔ)，就是事物本身所具有的同一性和相異性。因此，我們可以說，比較就是在認(rèn)識事物的過程中，確定思維對象的相

2、同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法，它是其他思維方法如分析綜合、抽象概括、歸納演繹等的基礎(chǔ)。正如黑格爾所指出的“我們今日常說的科學(xué)研究，往往主要是指對于所考察的對象加以相互比較的方法而言”。當(dāng)然，黑格爾緊接著還指出“比較方法所得的結(jié)果誠然不可缺少，但只能作為真正的概念式的知識的預(yù)備工作”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)從小學(xué)開始，就要有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較這一思維方法，把它作為教學(xué)的重點(diǎn)之一。10．1．2比較類型1．相同點(diǎn)的比較相同點(diǎn)的比較就是要確定我們的思維對象的共同屬性。有些貌似不同的事物，也可能存在一些共同點(diǎn)，這些共同之處往往聯(lián)系著它們的規(guī)律

3、。黑格爾曾指出“這種外在的差別，就其為相關(guān)的事物的同一而言是相等”。因此，通過比較尋找相異事物的共同點(diǎn)，可以開拓思路，探索規(guī)律，更深刻地認(rèn)識事物銎其相互關(guān)系，這類比較方法可以概括為“異中見同”?！蚜`，怒，鬻苫四個(gè)分?jǐn)?shù)按照由／J、至lJ大的J1頃序排歹IJ出來。分析：這四個(gè)分?jǐn)?shù)看來各不相同，但仔細(xì)觀察比較，就會(huì)看出它們的共同特點(diǎn)是分子比分母小1，由嬰比1少土，望旦比1少—1_，由墅比1少上，19819819881988。988。988由堅(jiān)比l少土1919—11l1m】——>——>——>——191989881988所以，望<

4、墮<塑<墮i91989881988例2把一個(gè)長方形兩等分。有多，多種畫法?分析：學(xué)生的分法是很多的，畫幾種并不難，難在從不同的分法中找出共同的本質(zhì)的規(guī)律性。學(xué)生在操作中可以逐步發(fā)現(xiàn)，只要找到了這個(gè)長方形(含正方形)的中心(兩條對角線的交點(diǎn))，通過中心點(diǎn)畫一條直線，就可以把長方形平均分成兩份。因?yàn)檫^一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，所以答案是有無數(shù)種畫法。2．不同點(diǎn)的比較不同點(diǎn)的比較就是要確定思維對象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物，實(shí)際上總是存在著某些差異，即使是相等的事物，也只是彼此不相同、不同一的事物之間的同一。所以著名數(shù)

5、學(xué)家萊布尼茲指出，天地間沒有兩個(gè)彼此完全相同之物。據(jù)說萊布尼茲當(dāng)初在歐洲的宮庭里指出他的“相異律”時(shí)，宮庭中的衛(wèi)士和宮女們紛紛走入御花園，四處去尋找兩片完全沒有差別的樹葉，想借以推翻這位數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家所提出的這一相異律。比較的結(jié)果，總是說明了差異是絕對的。因此，通過比較尋找相同或相似事物的不同點(diǎn)，同樣可以開拓思路，探尋規(guī)律，更深刻地理解某些概念及其相互關(guān)系。這類比較方法可以概括為“同中求異”。例3下面每組數(shù)中，請找出不同類的數(shù)來，并說明理由。11(i)1，4，7，10二，14，17，20，(10二不是自然數(shù))22(ii)0

6、，l，1．5，3，6，8，16，(1．5不是整數(shù))例4比較合數(shù)與偶數(shù)的區(qū)別。我們從概念的內(nèi)涵和外延兩方面加以區(qū)別。見表10．1。區(qū)別(i)兩概念的外延是交叉關(guān)系；(ii)合數(shù)中既有奇數(shù)，也有偶數(shù)；(iii)偶數(shù)中的數(shù)除零以外，還有正負(fù)兩類，正負(fù)數(shù)中僅2是質(zhì)數(shù)，其余都是合數(shù)。此外，例如，比較質(zhì)數(shù)與奇數(shù)；化簡比與求比值；平行四邊形與長方形的區(qū)別等等，都是“同中見異”的比較，上述兩類比較方法在實(shí)際運(yùn)用過程中，往往是綜合進(jìn)行的，并配合其他思維方法相輔相成。10．1．3比較方法舉例1．運(yùn)用比較，掌握數(shù)量關(guān)系教學(xué)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾

7、是多少，求這個(gè)數(shù)”的應(yīng)用題，一般是通過“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少?”的應(yīng)用題來導(dǎo)入。氣例如，小營村有耕地面積180畝，其中棉田占總耕地面積的三，全村棉田有多少畝?讓學(xué)生找出單位“1”的數(shù)量，分析數(shù)量關(guān)系(圖10．2)并解答。然后將上題改編為新授題：小營村有棉田108畝，占總耕地的喜，全村耕地面積是多少畝?啟發(fā)學(xué)生根據(jù)3題意改變圖10．2的條件和問題，畫出圖10．3，引導(dǎo)學(xué)生對照兩圖，分析兩題結(jié)構(gòu)上的異同點(diǎn)。不同點(diǎn)是原來總耕地面積是已知條件，現(xiàn)在變成所求的問題，原來要求棉田有多少畝，現(xiàn)在變成已知條件。相同點(diǎn)是兩題都把全村耕地

8、面積看作單位‘‘1”，棉田占總耕地面積的善沒有)變化，即(全村耕地面積)×導(dǎo)=108這一數(shù)量關(guān)系沒有變。學(xué)生掌握了數(shù)量關(guān)系就能3列式解答了。2．運(yùn)用比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律例如，教學(xué)“商不變的性質(zhì)”，教師先引導(dǎo)學(xué)生比較下面一組等式。6÷3=2，60÷30=2600÷300=2，6000÷3000=2(i)首先從整