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《等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第2課時 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍構(gòu)成，且有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．若q＝－1，則n為偶數(shù)時，上述性質(zhì)不成立．2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，則{an}為．等比數(shù)列等比數(shù)列3．在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)，S偶與S奇分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則S偶÷S奇＝q.4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋mSn＋qn·Sm.＝答案：B2．等比數(shù)列{an}中，S2＝7，S6＝91，則S4為()A．28B．32C．35D．49解析：∵S2，S4－S2
2、，S6－S4成等比數(shù)列∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)∴(S4－7)2＝7(91－S4)∴S4＝28.選A.答案：A3．在等比數(shù)列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，則a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A.B.C.D.答案：A4．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝56，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.答案：325．已知實(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，證明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．[例1]在等比數(shù)列{an}中，已
3、知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[分析]用求和公式直接求解或用性質(zhì)求解．[點(diǎn)評]通過兩種解法比較可看出，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，思路清晰，過程較為簡捷．遷移變式1已知等比數(shù)列{an}中，前10項(xiàng)和S10＝10，前20項(xiàng)和S20＝30，求S30.[例2]等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________.[點(diǎn)評]本題應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)使問題迎刃而解．遷移變式2一個等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．[例3]銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時間(貸款利率中的時間間隔)結(jié)算貸款的利息一次，
4、結(jié)算后將利息并入本金，這種計算利息的方法叫復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案，一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年年初貸款1萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年多獲利5千元．兩種方案的實(shí)施期限都是十年，到期一次性歸還本息，若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計算，比較兩個方案，哪個獲利更多？(參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.594,1.310≈13.786)[分析]本題考查用等比數(shù)列求和公式解決實(shí)際問題．明確復(fù)利的含義．利用等比數(shù)列求和公式分別求出兩種方案所獲得的利潤，再比較它們的大?。甗點(diǎn)評]在實(shí)際問題中，若量與量之間的比值為常
5、數(shù)，則可構(gòu)造等比數(shù)列模型，具體構(gòu)造時，可從特例入手，歸納猜想出其通項(xiàng)公式；也可從一般入手，尋求遞推關(guān)系，再求通項(xiàng)公式．遷移變式3某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貸款的年利息為10%，按復(fù)利計算(即本年的利息計入次年的本金生息)．若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？解：方法1：設(shè)每年還款x元，需10年還清，那么各年還款利息情況如下：第10年付款x元，這次還款后欠款全部還清；第9年付款x元，過一年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)元；第8年付款x元，過2年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)2元
6、；…第1年付款x元，過9年欠款全部還清時，所付款連同利息之和為x(1＋10%)9元．依題意得：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20000(1＋10%)10解得x＝≈3255(元)．方法2：第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行20000(1＋10%)－x＝20000×1.1－x，第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行[20000(1＋10%)－x](1＋10%)－x＝20000×1.12－1.1x－x，…第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x－1.18x－…－x，依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得20000×1.110－(
7、1.19＋1.18＋…＋1)x＝0，解得x＝≈3255(元)．[分析]確定{an}的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法解題．[點(diǎn)評]一般情況下，錯位相減后，Sn－q·Sn中的首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an要單獨(dú)計算，中間的n－1項(xiàng)則應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍構(gòu)成等比數(shù)列，且有(S2n－Sn)2＝Sn·
