x12-3條件極值拉格朗日乘數(shù)法

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1、條件極值。拉格朗日乘數(shù)法§12-3例：從斜邊長(zhǎng)為L(zhǎng)直角三角形中求最大周長(zhǎng)直角三角形。解:設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為x,y，則周長(zhǎng)z=L+x+y在條件L2=x2+y2下求二元函數(shù)z=L+x+y的極值。自變量附加條件的極值問(wèn)題稱為條件極值?？偨Y(jié)：(1)求二元函數(shù)f(x,y)在條件,F(x,y)=0（曲線）求極值時(shí)。1）可從F（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x))轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無(wú)條件極值。2）若從F（x,y）=0中解不出y=y(x)？(2)求二元函數(shù)f(x,y,z)在條件,F(x,y,z)

2、=0(曲面)求極值時(shí)。1）可從F（x,y,z）=0中解出z=z(x,y)代入z=f(x,y,z(x,y))轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的無(wú)條件極值。2）若從F（x,y,z）=0中解不出z=z(x，y)？若可從F（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x))的可能極值點(diǎn)為駐點(diǎn)。即求解方程組解出x,y,z即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).若可從F（x,y,z）=0中解出z=z(x,y)，f(x,y,z(x,y))的可能極值點(diǎn)為駐點(diǎn)。令g(x,y)=f(x,y,z(x,y))求解方程組解出x,y,z,t即得可能極

3、值點(diǎn)的坐標(biāo).解則例1求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為x,y，z.體積為V.則問(wèn)題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，即由(2),(1)及(3),(2)得由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，所以，最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值最大值一定存在，解則由(1)，(2)得由(1)，(3)得將(5)，(6)代入(4)：于是，得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取

4、得。故，最大值例3（P149）.證明點(diǎn)（x0,y0,z0)到平面ax+by+cz+d=0的（最短）距離為目標(biāo)函數(shù)例4.解則設(shè)則問(wèn)題就是在條件下，求的最小值。構(gòu)造函數(shù)由(1),(3)得由(2),(3)得代入(4)得例5設(shè)n個(gè)正數(shù)x1x2…...xn的和等于常數(shù)a時(shí)求它們的乘積的最大值，并證明n個(gè)正數(shù)a1a2…...an的幾何平均值小于算術(shù)平均值即：解解：設(shè)u=f(x1x2…...xn)在條件x1+x2…...+xn=aL(x1x2….xnλ)=x1x2….xn+λ（x1+x2….+xn-a）解可得

5、即例7.在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短。解設(shè)P(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則P到直線的距離為求d的最小值點(diǎn)即求的最小值點(diǎn)。作由lagrange乘數(shù)法，令得方程組解此方程組得于是由問(wèn)題的實(shí)際意義最短距離存在，因此即為所求點(diǎn)。