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1、【備戰(zhàn)2013高考數學專題講座】第12講：數學解題方法之反證法和數學歸納法探討江蘇泰州錦元數學工作室編輯3～8講，我們對數學思想方法進行了探討，從第九講開始我們對數學解題方法進行探討。數學問題中，常用的數學解題方法有待定系數法、配方法、換元法、數學歸納法、反證法等。反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”，否則就不是反證法。
2、用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與自然數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。一般地，在高中數學中證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟： ?。?）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況； （2）假設當n=k（k≥n
3、0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立?！【C合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。結合2012年全國各地高考的實例探討反證法和數學歸納法的應用：一、反證法的應用：典型例題：【版權歸錦元數學工作室，不得轉載】例1：（2012年上海市理18分）對于數集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P.例如具有性質P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質P，求證：1?X，且當n＞1時，1=1；（6分）（3）若X具有性質P，且1=1，（為常數），求有窮數列的通項公式.（
4、8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式。∴，從而=4。（2）證明：取，設滿足。由得，∴、異號?！撸?是X中唯一的負數，所以、中之一為－1，另一為1。故1?X。假設，其中，則。選取，并設滿足，即。則、異號，從而、之中恰有一個為－1。若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.∴=1。（3）猜測，i=1,2,…,。記，=2,3,…,。先證明：若具有性質P，則也具有性質P。任取，、?.當、中出現－1時，顯然有滿足。當且時，、≥1?！呔哂行再|P，∴有，、?，使得。從而和中有一個是－1，不妨設=－1，假設?且?，則。由，得，與?
5、矛盾?！?，從而也具有性質P?，F用數學歸納法證明：，i=1,2,…,。當=2時，結論顯然成立。假設時，有性質P，則，i=1,2,…,；則當時，若有性質P，則也有性質P，所以。取，并設滿足，即。由此可得與中有且只有一個為－1。若，則，所以，這不可能；∴，，又，所以。綜上所述，，i=1,2,…,?！究键c】數集、集合的基本性質、元素與集合的關系，數學歸納法和反證法的應用?！窘馕觥浚?）根據題設直接求解。（2）用反證法給予證明。（3）根據題設，先用反證法證明：若具有性質P，則也具有性質P，再用數學歸納法證明猜測，i=1,2,…,。例2：（2
6、012年北京市理13分）設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。對于A∈S(m，n)，記Ri(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）；記K(A)為∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）對如下數表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）設數表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）給定正整數t，對于
7、所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知，∴。（2）先用反證法證明：若，則，∴（無解）。同理可知。∴。由題設所有數和為0，即，∴，解得，與題設矛盾?！?。易知當時，存在?！嗟淖畲笾禐?。（3）的最大值為。首先構造滿足的：，。經計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個數表A∈S（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩
8、個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于。設中有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則。另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負。考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數，每個正數的絕對
